Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14642 / 21547
↖ ↑ ↗
← S 49.231947°
W 19.138184°		 ← 797.73 m → S 49.231947°
W 19.127197°		 →
↑
797.65 m
↓
↑
797.65 m
↓
S 49.239121°
W 19.138184°		 ← 797.61 m →
636 261 m²		 S 49.239121°
W 19.127197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446853637695312 y=0.657577514648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446853637695312 × 215)
    floor (0.446853637695312 × 32768)
    floor (14642.5)     		tx = 14642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657577514648438 × 215)
    floor (0.657577514648438 × 32768)
    floor (21547.5)     		ty = 21547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14642 / 21547 ti = "15/14642/21547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14642/21547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14642 ÷ 215
    14642 ÷ 32768     		x = 0.44683837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21547 ÷ 215
    21547 ÷ 32768     		y = 0.657562255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44683837890625 × 2 - 1) × π
    -0.1063232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33402432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657562255859375 × 2 - 1) × π
    -0.31512451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.9899928509534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33402432} λ = -0.33402432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.9899928509534))-π/2
    2×atan(0.371579347450621)-π/2
    2×0.355768374642713-π/2
    0.711536749285426-1.57079632675     		φ = -0.85925958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33402432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.138184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85925958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.231947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14642 KachelY 21547 -0.33402432 -0.85925958 -19.138184 -49.231947
    Oben rechts KachelX + 1 14643 KachelY 21547 -0.33383257 -0.85925958 -19.127197 -49.231947
    Unten links KachelX 14642 KachelY + 1 21548 -0.33402432 -0.85938478 -19.138184 -49.239121
    Unten rechts KachelX + 1 14643 KachelY + 1 21548 -0.33383257 -0.85938478 -19.127197 -49.239121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85925958--0.85938478) × R
    0.000125199999999936 × 6371000     		dl = 797.649199999595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85925958--0.85938478) × R
    0.000125199999999936 × 6371000     		dr = 797.649199999595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33402432--0.33383257) × cos(-0.85925958) × R
    0.000191749999999991 × 0.652998411062995 × 6371000     		do = 797.72848914215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33402432--0.33383257) × cos(-0.85938478) × R
    0.000191749999999991 × 0.652903584563817 × 6371000     		du = 797.612645368814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85925958)-sin(-0.85938478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652998411062995-0.652903584563817)×R²
    abs(-0.33383257--0.33402432)×9.48264991779135e-05×R²
    0.000191749999999991×9.48264991779135e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.48264991779135e-05×40589641000000     		ar = 636261.290666062m²