Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14641 / 14042
↖ ↑ ↗
← N 24.906367°
W 19.149170°		 ← 1 107.97 m → N 24.906367°
W 19.138184°		 →
↑
1 108.04 m
↓
↑
1 108.04 m
↓
N 24.896402°
W 19.149170°		 ← 1 108.06 m →
1 227 725 m²		 N 24.896402°
W 19.138184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446823120117188 y=0.428543090820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446823120117188 × 215)
    floor (0.446823120117188 × 32768)
    floor (14641.5)     		tx = 14641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428543090820312 × 215)
    floor (0.428543090820312 × 32768)
    floor (14042.5)     		ty = 14042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14641 / 14042 ti = "15/14641/14042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14641/14042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14641 ÷ 215
    14641 ÷ 32768     		x = 0.446807861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14042 ÷ 215
    14042 ÷ 32768     		y = 0.42852783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446807861328125 × 2 - 1) × π
    -0.10638427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33421606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42852783203125 × 2 - 1) × π
    0.1429443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.449072875640686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33421606} λ = -0.33421606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449072875640686))-π/2
    2×atan(1.56685883888062)-π/2
    2×1.0027472198978-π/2
    2.0054944397956-1.57079632675     		φ = 0.43469811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33421606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.149170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43469811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.906367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14641 KachelY 14042 -0.33421606 0.43469811 -19.149170 24.906367
    Oben rechts KachelX + 1 14642 KachelY 14042 -0.33402432 0.43469811 -19.138184 24.906367
    Unten links KachelX 14641 KachelY + 1 14043 -0.33421606 0.43452419 -19.149170 24.896402
    Unten rechts KachelX + 1 14642 KachelY + 1 14043 -0.33402432 0.43452419 -19.138184 24.896402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43469811-0.43452419) × R
    0.00017392000000005 × 6371000     		dl = 1108.04432000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43469811-0.43452419) × R
    0.00017392000000005 × 6371000     		dr = 1108.04432000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33421606--0.33402432) × cos(0.43469811) × R
    0.000191739999999996 × 0.906997220558506 × 6371000     		do = 1107.96561948223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33421606--0.33402432) × cos(0.43452419) × R
    0.000191739999999996 × 0.907070450919355 × 6371000     		du = 1108.05507589983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43469811)-sin(0.43452419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906997220558506-0.907070450919355)×R²
    abs(-0.33402432--0.33421606)×7.32303608484974e-05×R²
    0.000191739999999996×7.32303608484974e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.32303608484974e-05×40589641000000     		ar = 1227724.5753555m²