Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14641 / 10609
↖ ↑ ↗
← N 76.371325°
W 99.574585°		 ← 143.92 m → N 76.371325°
W 99.569092°		 →
↑
143.92 m
↓
↑
143.92 m
↓
N 76.370031°
W 99.574585°		 ← 143.93 m →
20 714 m²		 N 76.370031°
W 99.569092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.223411560058594 y=0.161888122558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.223411560058594 × 216)
    floor (0.223411560058594 × 65536)
    floor (14641.5)     		tx = 14641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161888122558594 × 216)
    floor (0.161888122558594 × 65536)
    floor (10609.5)     		ty = 10609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14641 / 10609 ti = "16/14641/10609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14641/10609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14641 ÷ 216
    14641 ÷ 65536     		x = 0.223403930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10609 ÷ 216
    10609 ÷ 65536     		y = 0.161880493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.223403930664062 × 2 - 1) × π
    -0.553192138671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.73790436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161880493164062 × 2 - 1) × π
    0.676239013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.12446751736165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73790436} λ = -1.73790436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12446751736165))-π/2
    2×atan(8.36844025238778)-π/2
    2×1.45186370278439-π/2
    2.90372740556878-1.57079632675     		φ = 1.33293108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73790436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.574585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33293108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.371325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14641 KachelY 10609 -1.73790436 1.33293108 -99.574585 76.371325
    Oben rechts KachelX + 1 14642 KachelY 10609 -1.73780849 1.33293108 -99.569092 76.371325
    Unten links KachelX 14641 KachelY + 1 10610 -1.73790436 1.33290849 -99.574585 76.370031
    Unten rechts KachelX + 1 14642 KachelY + 1 10610 -1.73780849 1.33290849 -99.569092 76.370031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33293108-1.33290849) × R
    2.25900000001555e-05 × 6371000     		dl = 143.920890000991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33293108-1.33290849) × R
    2.25900000001555e-05 × 6371000     		dr = 143.920890000991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73790436--1.73780849) × cos(1.33293108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.235628519521432 × 6371000     		do = 143.919017986894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73790436--1.73780849) × cos(1.33290849) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.235650473399143 × 6371000     		du = 143.932427146904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33293108)-sin(1.33290849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235628519521432-0.235650473399143)×R²
    abs(-1.73780849--1.73790436)×2.19538777112838e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.19538777112838e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.19538777112838e-05×40589641000000     		ar = 20713.9180869844m²