Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14638 / 20397
↖ ↑ ↗
← S 40.287907°
W 19.182129°		 ← 931.87 m → S 40.287907°
W 19.171143°		 →
↑
931.82 m
↓
↑
931.82 m
↓
S 40.296287°
W 19.182129°		 ← 931.76 m →
868 286 m²		 S 40.296287°
W 19.171143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446731567382812 y=0.622482299804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446731567382812 × 215)
    floor (0.446731567382812 × 32768)
    floor (14638.5)     		tx = 14638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622482299804688 × 215)
    floor (0.622482299804688 × 32768)
    floor (20397.5)     		ty = 20397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14638 / 20397 ti = "15/14638/20397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14638/20397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14638 ÷ 215
    14638 ÷ 32768     		x = 0.44671630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20397 ÷ 215
    20397 ÷ 32768     		y = 0.622467041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44671630859375 × 2 - 1) × π
    -0.1065673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33479131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622467041015625 × 2 - 1) × π
    -0.24493408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.769483112701141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33479131} λ = -0.33479131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.769483112701141))-π/2
    2×atan(0.463252455748277)-π/2
    2×0.433819853843712-π/2
    0.867639707687424-1.57079632675     		φ = -0.70315662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33479131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.182129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70315662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.287907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14638 KachelY 20397 -0.33479131 -0.70315662 -19.182129 -40.287907
    Oben rechts KachelX + 1 14639 KachelY 20397 -0.33459956 -0.70315662 -19.171143 -40.287907
    Unten links KachelX 14638 KachelY + 1 20398 -0.33479131 -0.70330288 -19.182129 -40.296287
    Unten rechts KachelX + 1 14639 KachelY + 1 20398 -0.33459956 -0.70330288 -19.171143 -40.296287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70315662--0.70330288) × R
    0.000146259999999954 × 6371000     		dl = 931.822459999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70315662--0.70330288) × R
    0.000146259999999954 × 6371000     		dr = 931.822459999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33479131--0.33459956) × cos(-0.70315662) × R
    0.000191749999999991 × 0.762804829689582 × 6371000     		do = 931.872320038312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33479131--0.33459956) × cos(-0.70330288) × R
    0.000191749999999991 × 0.762710245604166 × 6371000     		du = 931.756772407144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70315662)-sin(-0.70330288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762804829689582-0.762710245604166)×R²
    abs(-0.33459956--0.33479131)×9.45840854150726e-05×R²
    0.000191749999999991×9.45840854150726e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.45840854150726e-05×40589641000000     		ar = 868285.724272644m²