Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14637 / 9651
↖ ↑ ↗
← N 59.249033°
W 19.193115°		 ← 624.60 m → N 59.249033°
W 19.182129°		 →
↑
624.68 m
↓
↑
624.68 m
↓
N 59.243415°
W 19.193115°		 ← 624.70 m →
390 206 m²		 N 59.243415°
W 19.182129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446701049804688 y=0.294540405273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446701049804688 × 215)
    floor (0.446701049804688 × 32768)
    floor (14637.5)     		tx = 14637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294540405273438 × 215)
    floor (0.294540405273438 × 32768)
    floor (9651.5)     		ty = 9651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14637 / 9651 ti = "15/14637/9651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14637/9651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14637 ÷ 215
    14637 ÷ 32768     		x = 0.446685791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9651 ÷ 215
    9651 ÷ 32768     		y = 0.294525146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446685791015625 × 2 - 1) × π
    -0.10662841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33498305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294525146484375 × 2 - 1) × π
    0.41094970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29103658056735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33498305} λ = -0.33498305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29103658056735))-π/2
    2×atan(3.63655418408964)-π/2
    2×1.30244351225836-π/2
    2.60488702451671-1.57079632675     		φ = 1.03409070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33498305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.193115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03409070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.249033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14637 KachelY 9651 -0.33498305 1.03409070 -19.193115 59.249033
    Oben rechts KachelX + 1 14638 KachelY 9651 -0.33479131 1.03409070 -19.182129 59.249033
    Unten links KachelX 14637 KachelY + 1 9652 -0.33498305 1.03399265 -19.193115 59.243415
    Unten rechts KachelX + 1 14638 KachelY + 1 9652 -0.33479131 1.03399265 -19.182129 59.243415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03409070-1.03399265) × R
    9.80499999998496e-05 × 6371000     		dl = 624.676549999042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03409070-1.03399265) × R
    9.80499999998496e-05 × 6371000     		dr = 624.676549999042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33498305--0.33479131) × cos(1.03409070) × R
    0.000191739999999996 × 0.511307594337058 × 6371000     		do = 624.600850658379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33498305--0.33479131) × cos(1.03399265) × R
    0.000191739999999996 × 0.51139185583143 × 6371000     		du = 624.703782438867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03409070)-sin(1.03399265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511307594337058-0.51139185583143)×R²
    abs(-0.33479131--0.33498305)×8.42614943719067e-05×R²
    0.000191739999999996×8.42614943719067e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.42614943719067e-05×40589641000000     		ar = 390205.654363167m²