Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14636 / 9650
↖ ↑ ↗
← N 59.254649°
W 19.204101°		 ← 624.53 m → N 59.254649°
W 19.193115°		 →
↑
624.55 m
↓
↑
624.55 m
↓
N 59.249033°
W 19.204101°		 ← 624.63 m →
390 082 m²		 N 59.249033°
W 19.193115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446670532226562 y=0.294509887695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446670532226562 × 215)
    floor (0.446670532226562 × 32768)
    floor (14636.5)     		tx = 14636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294509887695312 × 215)
    floor (0.294509887695312 × 32768)
    floor (9650.5)     		ty = 9650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14636 / 9650 ti = "15/14636/9650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14636/9650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14636 ÷ 215
    14636 ÷ 32768     		x = 0.4466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9650 ÷ 215
    9650 ÷ 32768     		y = 0.29449462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4466552734375 × 2 - 1) × π
    -0.106689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33517480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29449462890625 × 2 - 1) × π
    0.4110107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.29122832816583
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33517480} λ = -0.33517480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29122832816583))-π/2
    2×atan(3.63725155147831)-π/2
    2×1.30249252922131-π/2
    2.60498505844263-1.57079632675     		φ = 1.03418873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33517480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.204101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03418873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.254649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14636 KachelY 9650 -0.33517480 1.03418873 -19.204101 59.254649
    Oben rechts KachelX + 1 14637 KachelY 9650 -0.33498305 1.03418873 -19.193115 59.254649
    Unten links KachelX 14636 KachelY + 1 9651 -0.33517480 1.03409070 -19.204101 59.249033
    Unten rechts KachelX + 1 14637 KachelY + 1 9651 -0.33498305 1.03409070 -19.193115 59.249033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03418873-1.03409070) × R
    9.80299999999712e-05 × 6371000     		dl = 624.549129999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03418873-1.03409070) × R
    9.80299999999712e-05 × 6371000     		dr = 624.549129999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33517480--0.33498305) × cos(1.03418873) × R
    0.000191749999999991 × 0.511223345116034 × 6371000     		do = 624.530503910012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33517480--0.33498305) × cos(1.03409070) × R
    0.000191749999999991 × 0.511307594337058 × 6371000     		du = 624.633426065197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03418873)-sin(1.03409070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511223345116034-0.511307594337058)×R²
    abs(-0.33498305--0.33517480)×8.42492210241241e-05×R²
    0.000191749999999991×8.42492210241241e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.42492210241241e-05×40589641000000     		ar = 390082.123159051m²