Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14635 / 9773
↖ ↑ ↗
← N 58.556792°
W 19.215088°		 ← 637.27 m → N 58.556792°
W 19.204101°		 →
↑
637.29 m
↓
↑
637.29 m
↓
N 58.551061°
W 19.215088°		 ← 637.38 m →
406 161 m²		 N 58.551061°
W 19.204101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446640014648438 y=0.298263549804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446640014648438 × 215)
    floor (0.446640014648438 × 32768)
    floor (14635.5)     		tx = 14635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298263549804688 × 215)
    floor (0.298263549804688 × 32768)
    floor (9773.5)     		ty = 9773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14635 / 9773 ti = "15/14635/9773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14635/9773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14635 ÷ 215
    14635 ÷ 32768     		x = 0.446624755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9773 ÷ 215
    9773 ÷ 32768     		y = 0.298248291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446624755859375 × 2 - 1) × π
    -0.10675048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33536655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298248291015625 × 2 - 1) × π
    0.40350341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26764337355277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33536655} λ = -0.33536655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26764337355277))-π/2
    2×atan(3.55247084320201)-π/2
    2×1.29640257455158-π/2
    2.59280514910315-1.57079632675     		φ = 1.02200882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33536655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.215088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02200882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.556792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14635 KachelY 9773 -0.33536655 1.02200882 -19.215088 58.556792
    Oben rechts KachelX + 1 14636 KachelY 9773 -0.33517480 1.02200882 -19.204101 58.556792
    Unten links KachelX 14635 KachelY + 1 9774 -0.33536655 1.02190879 -19.215088 58.551061
    Unten rechts KachelX + 1 14636 KachelY + 1 9774 -0.33517480 1.02190879 -19.204101 58.551061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02200882-1.02190879) × R
    0.000100030000000029 × 6371000     		dl = 637.291130000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02200882-1.02190879) × R
    0.000100030000000029 × 6371000     		dr = 637.291130000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33536655--0.33517480) × cos(1.02200882) × R
    0.000191749999999991 × 0.521653164782159 × 6371000     		do = 637.271980984572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33536655--0.33517480) × cos(1.02190879) × R
    0.000191749999999991 × 0.52173850353191 × 6371000     		du = 637.376234150814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02200882)-sin(1.02190879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521653164782159-0.52173850353191)×R²
    abs(-0.33517480--0.33536655)×8.53387497514735e-05×R²
    0.000191749999999991×8.53387497514735e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.53387497514735e-05×40589641000000     		ar = 406161.001026841m²