Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14634 / 20386
↖ ↑ ↗
← S 40.195659°
W 19.226074°		 ← 933.14 m → S 40.195659°
W 19.215088°		 →
↑
933.03 m
↓
↑
933.03 m
↓
S 40.204050°
W 19.226074°		 ← 933.03 m →
870 599 m²		 S 40.204050°
W 19.215088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446609497070312 y=0.622146606445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446609497070312 × 215)
    floor (0.446609497070312 × 32768)
    floor (14634.5)     		tx = 14634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622146606445312 × 215)
    floor (0.622146606445312 × 32768)
    floor (20386.5)     		ty = 20386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14634 / 20386 ti = "15/14634/20386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14634/20386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14634 ÷ 215
    14634 ÷ 32768     		x = 0.44659423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20386 ÷ 215
    20386 ÷ 32768     		y = 0.62213134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44659423828125 × 2 - 1) × π
    -0.1068115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33555830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62213134765625 × 2 - 1) × π
    -0.2442626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.767373889117859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33555830} λ = -0.33555830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.767373889117859))-π/2
    2×atan(0.46423058994218)-π/2
    2×0.434624865311619-π/2
    0.869249730623238-1.57079632675     		φ = -0.70154660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33555830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.226074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70154660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.195659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14634 KachelY 20386 -0.33555830 -0.70154660 -19.226074 -40.195659
    Oben rechts KachelX + 1 14635 KachelY 20386 -0.33536655 -0.70154660 -19.215088 -40.195659
    Unten links KachelX 14634 KachelY + 1 20387 -0.33555830 -0.70169305 -19.226074 -40.204050
    Unten rechts KachelX + 1 14635 KachelY + 1 20387 -0.33536655 -0.70169305 -19.215088 -40.204050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70154660--0.70169305) × R
    0.00014645000000002 × 6371000     		dl = 933.032950000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70154660--0.70169305) × R
    0.00014645000000002 × 6371000     		dr = 933.032950000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33555830--0.33536655) × cos(-0.70154660) × R
    0.000191749999999991 × 0.763844925866415 × 6371000     		do = 933.142942351706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33555830--0.33536655) × cos(-0.70169305) × R
    0.000191749999999991 × 0.763750398871614 × 6371000     		du = 933.027464464673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70154660)-sin(-0.70169305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763844925866415-0.763750398871614)×R²
    abs(-0.33536655--0.33555830)×9.45269948007255e-05×R²
    0.000191749999999991×9.45269948007255e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.45269948007255e-05×40589641000000     		ar = 870599.241493284m²