Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14633 / 9367
↖ ↑ ↗
← N 60.807423°
W 19.237060°		 ← 595.82 m → N 60.807423°
W 19.226074°		 →
↑
595.94 m
↓
↑
595.94 m
↓
N 60.802063°
W 19.237060°		 ← 595.92 m →
355 104 m²		 N 60.802063°
W 19.226074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446578979492188 y=0.285873413085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446578979492188 × 215)
    floor (0.446578979492188 × 32768)
    floor (14633.5)     		tx = 14633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.285873413085938 × 215)
    floor (0.285873413085938 × 32768)
    floor (9367.5)     		ty = 9367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14633 / 9367 ti = "15/14633/9367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14633/9367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14633 ÷ 215
    14633 ÷ 32768     		x = 0.446563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9367 ÷ 215
    9367 ÷ 32768     		y = 0.285858154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446563720703125 × 2 - 1) × π
    -0.10687255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33575004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.285858154296875 × 2 - 1) × π
    0.42828369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.34549289853574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33575004} λ = -0.33575004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34549289853574))-π/2
    2×atan(3.84007884344403)-π/2
    2×1.31604303159455-π/2
    2.6320860631891-1.57079632675     		φ = 1.06128974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33575004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.237060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06128974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.807423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14633 KachelY 9367 -0.33575004 1.06128974 -19.237060 60.807423
    Oben rechts KachelX + 1 14634 KachelY 9367 -0.33555830 1.06128974 -19.226074 60.807423
    Unten links KachelX 14633 KachelY + 1 9368 -0.33575004 1.06119620 -19.237060 60.802063
    Unten rechts KachelX + 1 14634 KachelY + 1 9368 -0.33555830 1.06119620 -19.226074 60.802063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06128974-1.06119620) × R
    9.35400000001696e-05 × 6371000     		dl = 595.943340001081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06128974-1.06119620) × R
    9.35400000001696e-05 × 6371000     		dr = 595.943340001081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33575004--0.33555830) × cos(1.06128974) × R
    0.000191740000000051 × 0.487746563810644 × 6371000     		do = 595.819272070291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33575004--0.33555830) × cos(1.06119620) × R
    0.000191740000000051 × 0.487828220719276 × 6371000     		du = 595.919022152548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06128974)-sin(1.06119620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.487746563810644-0.487828220719276)×R²
    abs(-0.33555830--0.33575004)×8.16569086318775e-05×R²
    0.000191740000000051×8.16569086318775e-05×6371000²
    0.000191740000000051×8.16569086318775e-05×40589641000000     		ar = 355104.249992595m²