Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14631 / 9776
↖ ↑ ↗
← N 58.539595°
W 19.259033°		 ← 637.58 m → N 58.539595°
W 19.248047°		 →
↑
637.61 m
↓
↑
637.61 m
↓
N 58.533861°
W 19.259033°		 ← 637.69 m →
406 563 m²		 N 58.533861°
W 19.248047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446517944335938 y=0.298355102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446517944335938 × 215)
    floor (0.446517944335938 × 32768)
    floor (14631.5)     		tx = 14631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298355102539062 × 215)
    floor (0.298355102539062 × 32768)
    floor (9776.5)     		ty = 9776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14631 / 9776 ti = "15/14631/9776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14631/9776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14631 ÷ 215
    14631 ÷ 32768     		x = 0.446502685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9776 ÷ 215
    9776 ÷ 32768     		y = 0.29833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446502685546875 × 2 - 1) × π
    -0.10699462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33613354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29833984375 × 2 - 1) × π
    0.4033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.26706813075732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33613354} λ = -0.33613354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26706813075732))-π/2
    2×atan(3.55042789759465)-π/2
    2×1.29625249911856-π/2
    2.59250499823711-1.57079632675     		φ = 1.02170867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33613354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.259033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02170867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.539595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14631 KachelY 9776 -0.33613354 1.02170867 -19.259033 58.539595
    Oben rechts KachelX + 1 14632 KachelY 9776 -0.33594179 1.02170867 -19.248047 58.539595
    Unten links KachelX 14631 KachelY + 1 9777 -0.33613354 1.02160859 -19.259033 58.533861
    Unten rechts KachelX + 1 14632 KachelY + 1 9777 -0.33594179 1.02160859 -19.248047 58.533861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02170867-1.02160859) × R
    0.000100079999999947 × 6371000     		dl = 637.609679999662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02170867-1.02160859) × R
    0.000100079999999947 × 6371000     		dr = 637.609679999662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33613354--0.33594179) × cos(1.02170867) × R
    0.000191749999999991 × 0.521909216549075 × 6371000     		do = 637.584783873068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33613354--0.33594179) × cos(1.02160859) × R
    0.000191749999999991 × 0.521994582279025 × 6371000     		du = 637.68906999938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02170867)-sin(1.02160859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521909216549075-0.521994582279025)×R²
    abs(-0.33594179--0.33613354)×8.53657299501043e-05×R²
    0.000191749999999991×8.53657299501043e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.53657299501043e-05×40589641000000     		ar = 406563.477278679m²