Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14630 / 9782
↖ ↑ ↗
← N 58.505175°
W 19.270020°		 ← 638.21 m → N 58.505175°
W 19.259033°		 →
↑
638.25 m
↓
↑
638.25 m
↓
N 58.499435°
W 19.270020°		 ← 638.32 m →
407 369 m²		 N 58.499435°
W 19.259033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446487426757812 y=0.298538208007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446487426757812 × 215)
    floor (0.446487426757812 × 32768)
    floor (14630.5)     		tx = 14630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298538208007812 × 215)
    floor (0.298538208007812 × 32768)
    floor (9782.5)     		ty = 9782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14630 / 9782 ti = "15/14630/9782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14630/9782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14630 ÷ 215
    14630 ÷ 32768     		x = 0.44647216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9782 ÷ 215
    9782 ÷ 32768     		y = 0.29852294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44647216796875 × 2 - 1) × π
    -0.1070556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33632529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29852294921875 × 2 - 1) × π
    0.4029541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.26591764516644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33632529} λ = -0.33632529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26591764516644))-π/2
    2×atan(3.54634553025969)-π/2
    2×1.29595212725745-π/2
    2.59190425451491-1.57079632675     		φ = 1.02110793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33632529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.270020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02110793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.505175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14630 KachelY 9782 -0.33632529 1.02110793 -19.270020 58.505175
    Oben rechts KachelX + 1 14631 KachelY 9782 -0.33613354 1.02110793 -19.259033 58.505175
    Unten links KachelX 14630 KachelY + 1 9783 -0.33632529 1.02100775 -19.270020 58.499435
    Unten rechts KachelX + 1 14631 KachelY + 1 9783 -0.33613354 1.02100775 -19.259033 58.499435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02110793-1.02100775) × R
    0.000100180000000005 × 6371000     		dl = 638.246780000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02110793-1.02100775) × R
    0.000100180000000005 × 6371000     		dr = 638.246780000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33632529--0.33613354) × cos(1.02110793) × R
    0.000191749999999991 × 0.52242155418589 × 6371000     		do = 638.210675639453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33632529--0.33613354) × cos(1.02100775) × R
    0.000191749999999991 × 0.522506973783119 × 6371000     		du = 638.315027572148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02110793)-sin(1.02100775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52242155418589-0.522506973783119)×R²
    abs(-0.33613354--0.33632529)×8.5419597228964e-05×R²
    0.000191749999999991×8.5419597228964e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.5419597228964e-05×40589641000000     		ar = 407369.210172115m²