Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14629 / 17259
↖ ↑ ↗
← N 78.710403°
W139.820252°		 ← 59.79 m → N 78.710403°
W139.817505°		 →
↑
59.82 m
↓
↑
59.82 m
↓
N 78.709865°
W139.820252°		 ← 59.80 m →
3 577 m²		 N 78.709865°
W139.817505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.111614227294922 y=0.131679534912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.111614227294922 × 217)
    floor (0.111614227294922 × 131072)
    floor (14629.5)     		tx = 14629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131679534912109 × 217)
    floor (0.131679534912109 × 131072)
    floor (17259.5)     		ty = 17259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14629 / 17259 ti = "17/14629/17259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14629/17259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14629 ÷ 217
    14629 ÷ 131072     		x = 0.111610412597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17259 ÷ 217
    17259 ÷ 131072     		y = 0.131675720214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.111610412597656 × 2 - 1) × π
    -0.776779174804688 × 3.1415926535     		Λ = -2.44032375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131675720214844 × 2 - 1) × π
    0.736648559570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.31424970295745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.44032375} λ = -2.44032375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31424970295745))-π/2
    2×atan(10.1173290681994)-π/2
    2×1.47227600784417-π/2
    2.94455201568834-1.57079632675     		φ = 1.37375569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.44032375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.820252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37375569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.710403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14629 KachelY 17259 -2.44032375 1.37375569 -139.820252 78.710403
    Oben rechts KachelX + 1 14630 KachelY 17259 -2.44027581 1.37375569 -139.817505 78.710403
    Unten links KachelX 14629 KachelY + 1 17260 -2.44032375 1.37374630 -139.820252 78.709865
    Unten rechts KachelX + 1 14630 KachelY + 1 17260 -2.44027581 1.37374630 -139.817505 78.709865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37375569-1.37374630) × R
    9.38999999999801e-06 × 6371000     		dl = 59.8236899999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37375569-1.37374630) × R
    9.38999999999801e-06 × 6371000     		dr = 59.8236899999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.44032375--2.44027581) × cos(1.37375569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195768092104005 × 6371000     		do = 59.7926143992146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.44032375--2.44027581) × cos(1.37374630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19577730040094 × 6371000     		du = 59.7954268501203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37375569)-sin(1.37374630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195768092104005-0.19577730040094)×R²
    abs(-2.44027581--2.44032375)×9.20829693562553e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.20829693562553e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.20829693562553e-06×40589641000000     		ar = 3577.09895354582m²