Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14628 / 9628
↖ ↑ ↗
← N 59.377988°
W 19.291992°		 ← 622.24 m → N 59.377988°
W 19.281006°		 →
↑
622.26 m
↓
↑
622.26 m
↓
N 59.372392°
W 19.291992°		 ← 622.34 m →
387 222 m²		 N 59.372392°
W 19.281006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446426391601562 y=0.293838500976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446426391601562 × 215)
    floor (0.446426391601562 × 32768)
    floor (14628.5)     		tx = 14628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293838500976562 × 215)
    floor (0.293838500976562 × 32768)
    floor (9628.5)     		ty = 9628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14628 / 9628 ti = "15/14628/9628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14628/9628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14628 ÷ 215
    14628 ÷ 32768     		x = 0.4464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9628 ÷ 215
    9628 ÷ 32768     		y = 0.2938232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.107177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33670878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2938232421875 × 2 - 1) × π
    0.412353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2954467753324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33670878} λ = -0.33670878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2954467753324))-π/2
    2×atan(3.65262751351984)-π/2
    2×1.30356886040315-π/2
    2.60713772080631-1.57079632675     		φ = 1.03634139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33670878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.291992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03634139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.377988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14628 KachelY 9628 -0.33670878 1.03634139 -19.291992 59.377988
    Oben rechts KachelX + 1 14629 KachelY 9628 -0.33651704 1.03634139 -19.281006 59.377988
    Unten links KachelX 14628 KachelY + 1 9629 -0.33670878 1.03624372 -19.291992 59.372392
    Unten rechts KachelX + 1 14629 KachelY + 1 9629 -0.33651704 1.03624372 -19.281006 59.372392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03634139-1.03624372) × R
    9.76699999999386e-05 × 6371000     		dl = 622.255569999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03634139-1.03624372) × R
    9.76699999999386e-05 × 6371000     		dr = 622.255569999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33670878--0.33651704) × cos(1.03634139) × R
    0.000191739999999996 × 0.509372062940262 × 6371000     		do = 622.236452847151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33670878--0.33651704) × cos(1.03624372) × R
    0.000191739999999996 × 0.509456110077171 × 6371000     		du = 622.339122773805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03634139)-sin(1.03624372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.509372062940262-0.509456110077171)×R²
    abs(-0.33651704--0.33670878)×8.40471369081275e-05×R²
    0.000191739999999996×8.40471369081275e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.40471369081275e-05×40589641000000     		ar = 387222.04241534m²