Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14628 / 20398
↖ ↑ ↗
← S 40.296287°
W 19.291992°		 ← 931.71 m → S 40.296287°
W 19.281006°		 →
↑
931.63 m
↓
↑
931.63 m
↓
S 40.304665°
W 19.291992°		 ← 931.59 m →
867 955 m²		 S 40.304665°
W 19.281006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446426391601562 y=0.622512817382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446426391601562 × 215)
    floor (0.446426391601562 × 32768)
    floor (14628.5)     		tx = 14628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622512817382812 × 215)
    floor (0.622512817382812 × 32768)
    floor (20398.5)     		ty = 20398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14628 / 20398 ti = "15/14628/20398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14628/20398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14628 ÷ 215
    14628 ÷ 32768     		x = 0.4464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20398 ÷ 215
    20398 ÷ 32768     		y = 0.62249755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.107177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33670878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62249755859375 × 2 - 1) × π
    -0.2449951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.769674860299622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33670878} λ = -0.33670878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.769674860299622))-π/2
    2×atan(0.463163636718087)-π/2
    2×0.433746725380491-π/2
    0.867493450760983-1.57079632675     		φ = -0.70330288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33670878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.291992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70330288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.296287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14628 KachelY 20398 -0.33670878 -0.70330288 -19.291992 -40.296287
    Oben rechts KachelX + 1 14629 KachelY 20398 -0.33651704 -0.70330288 -19.281006 -40.296287
    Unten links KachelX 14628 KachelY + 1 20399 -0.33670878 -0.70344911 -19.291992 -40.304665
    Unten rechts KachelX + 1 14629 KachelY + 1 20399 -0.33651704 -0.70344911 -19.281006 -40.304665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70330288--0.70344911) × R
    0.000146230000000025 × 6371000     		dl = 931.631330000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70330288--0.70344911) × R
    0.000146230000000025 × 6371000     		dr = 931.631330000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33670878--0.33651704) × cos(-0.70330288) × R
    0.000191739999999996 × 0.762710245604166 × 6371000     		do = 931.708180137422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33670878--0.33651704) × cos(-0.70344911) × R
    0.000191739999999996 × 0.76261566460842 × 6371000     		du = 931.592642306469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70330288)-sin(-0.70344911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762710245604166-0.76261566460842)×R²
    abs(-0.33651704--0.33670878)×9.45809957466626e-05×R²
    0.000191739999999996×9.45809957466626e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.45809957466626e-05×40589641000000     		ar = 867954.713248755m²