Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14627 / 9777
↖ ↑ ↗
← N 58.533861°
W 19.302978°		 ← 637.69 m → N 58.533861°
W 19.291992°		 →
↑
637.74 m
↓
↑
637.74 m
↓
N 58.528125°
W 19.302978°		 ← 637.79 m →
406 711 m²		 N 58.528125°
W 19.291992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446395874023438 y=0.298385620117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446395874023438 × 215)
    floor (0.446395874023438 × 32768)
    floor (14627.5)     		tx = 14627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298385620117188 × 215)
    floor (0.298385620117188 × 32768)
    floor (9777.5)     		ty = 9777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14627 / 9777 ti = "15/14627/9777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14627/9777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14627 ÷ 215
    14627 ÷ 32768     		x = 0.446380615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9777 ÷ 215
    9777 ÷ 32768     		y = 0.298370361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446380615234375 × 2 - 1) × π
    -0.10723876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33690053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298370361328125 × 2 - 1) × π
    0.40325927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26687638315884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33690053} λ = -0.33690053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26687638315884))-π/2
    2×atan(3.54974717683708)-π/2
    2×1.296202457607-π/2
    2.59240491521401-1.57079632675     		φ = 1.02160859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33690053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.302978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02160859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.533861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14627 KachelY 9777 -0.33690053 1.02160859 -19.302978 58.533861
    Oben rechts KachelX + 1 14628 KachelY 9777 -0.33670878 1.02160859 -19.291992 58.533861
    Unten links KachelX 14627 KachelY + 1 9778 -0.33690053 1.02150849 -19.302978 58.528125
    Unten rechts KachelX + 1 14628 KachelY + 1 9778 -0.33670878 1.02150849 -19.291992 58.528125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02160859-1.02150849) × R
    0.000100100000000047 × 6371000     		dl = 637.737100000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02160859-1.02150849) × R
    0.000100100000000047 × 6371000     		dr = 637.737100000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33690053--0.33670878) × cos(1.02160859) × R
    0.000191749999999991 × 0.521994582279025 × 6371000     		do = 637.68906999938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33690053--0.33670878) × cos(1.02150849) × R
    0.000191749999999991 × 0.522079959838605 × 6371000     		du = 637.793370577232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02160859)-sin(1.02150849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521994582279025-0.522079959838605)×R²
    abs(-0.33670878--0.33690053)×8.53775595801576e-05×R²
    0.000191749999999991×8.53775595801576e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.53775595801576e-05×40589641000000     		ar = 406711.23671699m²