Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14626 / 9031
↖ ↑ ↗
← N 62.557921°
W 19.313965°		 ← 562.99 m → N 62.557921°
W 19.302978°		 →
↑
563.07 m
↓
↑
563.07 m
↓
N 62.552857°
W 19.313965°		 ← 563.09 m →
317 032 m²		 N 62.552857°
W 19.302978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446365356445312 y=0.275619506835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446365356445312 × 215)
    floor (0.446365356445312 × 32768)
    floor (14626.5)     		tx = 14626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275619506835938 × 215)
    floor (0.275619506835938 × 32768)
    floor (9031.5)     		ty = 9031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14626 / 9031 ti = "15/14626/9031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14626/9031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14626 ÷ 215
    14626 ÷ 32768     		x = 0.44635009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9031 ÷ 215
    9031 ÷ 32768     		y = 0.275604248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44635009765625 × 2 - 1) × π
    -0.1072998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33709228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275604248046875 × 2 - 1) × π
    0.44879150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.40992009162509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33709228} λ = -0.33709228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40992009162509))-π/2
    2×atan(4.09562811600784)-π/2
    2×1.33131900597875-π/2
    2.66263801195751-1.57079632675     		φ = 1.09184169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33709228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.313965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09184169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.557921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14626 KachelY 9031 -0.33709228 1.09184169 -19.313965 62.557921
    Oben rechts KachelX + 1 14627 KachelY 9031 -0.33690053 1.09184169 -19.302978 62.557921
    Unten links KachelX 14626 KachelY + 1 9032 -0.33709228 1.09175331 -19.313965 62.552857
    Unten rechts KachelX + 1 14627 KachelY + 1 9032 -0.33690053 1.09175331 -19.302978 62.552857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09184169-1.09175331) × R
    8.8379999999999e-05 × 6371000     		dl = 563.068979999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09184169-1.09175331) × R
    8.8379999999999e-05 × 6371000     		dr = 563.068979999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33709228--0.33690053) × cos(1.09184169) × R
    0.000191750000000046 × 0.460851691542496 × 6371000     		do = 562.994514817341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33709228--0.33690053) × cos(1.09175331) × R
    0.000191750000000046 × 0.460930124974375 × 6371000     		du = 563.090332176237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09184169)-sin(1.09175331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460851691542496-0.460930124974375)×R²
    abs(-0.33690053--0.33709228)×7.84334318789659e-05×R²
    0.000191750000000046×7.84334318789659e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.84334318789659e-05×40589641000000     		ar = 317031.723301682m²