Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14625 / 8985
↖ ↑ ↗
← N 62.789912°
W 19.324951°		 ← 558.60 m → N 62.789912°
W 19.313965°		 →
↑
558.67 m
↓
↑
558.67 m
↓
N 62.784888°
W 19.324951°		 ← 558.70 m →
312 101 m²		 N 62.784888°
W 19.313965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446334838867188 y=0.274215698242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446334838867188 × 215)
    floor (0.446334838867188 × 32768)
    floor (14625.5)     		tx = 14625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274215698242188 × 215)
    floor (0.274215698242188 × 32768)
    floor (8985.5)     		ty = 8985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14625 / 8985 ti = "15/14625/8985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14625/8985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14625 ÷ 215
    14625 ÷ 32768     		x = 0.446319580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8985 ÷ 215
    8985 ÷ 32768     		y = 0.274200439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446319580078125 × 2 - 1) × π
    -0.10736083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33728403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274200439453125 × 2 - 1) × π
    0.45159912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.41874048115518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33728403} λ = -0.33728403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41874048115518))-π/2
    2×atan(4.13191293925486)-π/2
    2×1.33334351200348-π/2
    2.66668702400695-1.57079632675     		φ = 1.09589070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33728403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.324951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09589070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.789912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14625 KachelY 8985 -0.33728403 1.09589070 -19.324951 62.789912
    Oben rechts KachelX + 1 14626 KachelY 8985 -0.33709228 1.09589070 -19.313965 62.789912
    Unten links KachelX 14625 KachelY + 1 8986 -0.33728403 1.09580301 -19.324951 62.784888
    Unten rechts KachelX + 1 14626 KachelY + 1 8986 -0.33709228 1.09580301 -19.313965 62.784888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09589070-1.09580301) × R
    8.76899999999736e-05 × 6371000     		dl = 558.672989999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09589070-1.09580301) × R
    8.76899999999736e-05 × 6371000     		dr = 558.672989999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33728403--0.33709228) × cos(1.09589070) × R
    0.000191749999999991 × 0.457254519738068 × 6371000     		do = 558.600068551896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33728403--0.33709228) × cos(1.09580301) × R
    0.000191749999999991 × 0.457332503843086 × 6371000     		du = 558.695336995463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09589070)-sin(1.09580301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457254519738068-0.457332503843086)×R²
    abs(-0.33709228--0.33728403)×7.79841050181362e-05×R²
    0.000191749999999991×7.79841050181362e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.79841050181362e-05×40589641000000     		ar = 312101.382665451m²