Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14625 / 7100
↖ ↑ ↗
← N 70.859087°
W 19.324951°		 ← 400.57 m → N 70.859087°
W 19.313965°		 →
↑
400.61 m
↓
↑
400.61 m
↓
N 70.855485°
W 19.324951°		 ← 400.64 m →
160 485 m²		 N 70.855485°
W 19.313965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446334838867188 y=0.216690063476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446334838867188 × 215)
    floor (0.446334838867188 × 32768)
    floor (14625.5)     		tx = 14625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216690063476562 × 215)
    floor (0.216690063476562 × 32768)
    floor (7100.5)     		ty = 7100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14625 / 7100 ti = "15/14625/7100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14625/7100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14625 ÷ 215
    14625 ÷ 32768     		x = 0.446319580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7100 ÷ 215
    7100 ÷ 32768     		y = 0.2166748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446319580078125 × 2 - 1) × π
    -0.10736083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33728403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2166748046875 × 2 - 1) × π
    0.566650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78018470429041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33728403} λ = -0.33728403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78018470429041))-π/2
    2×atan(5.9309517896699)-π/2
    2×1.40376035166331-π/2
    2.80752070332661-1.57079632675     		φ = 1.23672438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33728403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.324951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23672438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.859087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14625 KachelY 7100 -0.33728403 1.23672438 -19.324951 70.859087
    Oben rechts KachelX + 1 14626 KachelY 7100 -0.33709228 1.23672438 -19.313965 70.859087
    Unten links KachelX 14625 KachelY + 1 7101 -0.33728403 1.23666150 -19.324951 70.855485
    Unten rechts KachelX + 1 14626 KachelY + 1 7101 -0.33709228 1.23666150 -19.313965 70.855485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23672438-1.23666150) × R
    6.28799999999874e-05 × 6371000     		dl = 400.60847999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23672438-1.23666150) × R
    6.28799999999874e-05 × 6371000     		dr = 400.60847999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33728403--0.33709228) × cos(1.23672438) × R
    0.000191749999999991 × 0.327892565403332 × 6371000     		do = 400.566427679883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33728403--0.33709228) × cos(1.23666150) × R
    0.000191749999999991 × 0.327951968435409 × 6371000     		du = 400.638996755437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23672438)-sin(1.23666150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327892565403332-0.327951968435409)×R²
    abs(-0.33709228--0.33728403)×5.94030320770211e-05×R²
    0.000191749999999991×5.94030320770211e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.94030320770211e-05×40589641000000     		ar = 160484.843677767m²