Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14624 / 9790
↖ ↑ ↗
← N 58.459229°
W 19.335937°		 ← 639.01 m → N 58.459229°
W 19.324951°		 →
↑
639.08 m
↓
↑
639.08 m
↓
N 58.453481°
W 19.335937°		 ← 639.12 m →
408 410 m²		 N 58.453481°
W 19.324951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446304321289062 y=0.298782348632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446304321289062 × 215)
    floor (0.446304321289062 × 32768)
    floor (14624.5)     		tx = 14624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298782348632812 × 215)
    floor (0.298782348632812 × 32768)
    floor (9790.5)     		ty = 9790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14624 / 9790 ti = "15/14624/9790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14624/9790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14624 ÷ 215
    14624 ÷ 32768     		x = 0.4462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9790 ÷ 215
    9790 ÷ 32768     		y = 0.29876708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4462890625 × 2 - 1) × π
    -0.107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33747577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29876708984375 × 2 - 1) × π
    0.4024658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2643836643786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33747577} λ = -0.33747577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2643836643786))-π/2
    2×atan(3.54090967466417)-π/2
    2×1.29555117281701-π/2
    2.59110234563402-1.57079632675     		φ = 1.02030602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33747577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.335937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02030602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.459229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14624 KachelY 9790 -0.33747577 1.02030602 -19.335937 58.459229
    Oben rechts KachelX + 1 14625 KachelY 9790 -0.33728403 1.02030602 -19.324951 58.459229
    Unten links KachelX 14624 KachelY + 1 9791 -0.33747577 1.02020571 -19.335937 58.453481
    Unten rechts KachelX + 1 14625 KachelY + 1 9791 -0.33728403 1.02020571 -19.324951 58.453481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02030602-1.02020571) × R
    0.000100310000000103 × 6371000     		dl = 639.075010000659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02030602-1.02020571) × R
    0.000100310000000103 × 6371000     		dr = 639.075010000659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33747577--0.33728403) × cos(1.02030602) × R
    0.000191739999999996 × 0.523105164652693 × 6371000     		do = 639.012473987388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33747577--0.33728403) × cos(1.02020571) × R
    0.000191739999999996 × 0.523190653038156 × 6371000     		du = 639.116904508024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02030602)-sin(1.02020571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523105164652693-0.523190653038156)×R²
    abs(-0.33728403--0.33747577)×8.54883854632948e-05×R²
    0.000191739999999996×8.54883854632948e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.54883854632948e-05×40589641000000     		ar = 408410.27301454m²