Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14624 / 9377
↖ ↑ ↗
← N 60.753792°
W 19.335937°		 ← 596.82 m → N 60.753792°
W 19.324951°		 →
↑
596.90 m
↓
↑
596.90 m
↓
N 60.748424°
W 19.335937°		 ← 596.92 m →
356 269 m²		 N 60.748424°
W 19.324951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446304321289062 y=0.286178588867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446304321289062 × 215)
    floor (0.446304321289062 × 32768)
    floor (14624.5)     		tx = 14624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286178588867188 × 215)
    floor (0.286178588867188 × 32768)
    floor (9377.5)     		ty = 9377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14624 / 9377 ti = "15/14624/9377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14624/9377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14624 ÷ 215
    14624 ÷ 32768     		x = 0.4462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9377 ÷ 215
    9377 ÷ 32768     		y = 0.286163330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4462890625 × 2 - 1) × π
    -0.107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33747577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.286163330078125 × 2 - 1) × π
    0.42767333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.34357542255093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33747577} λ = -0.33747577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34357542255093))-π/2
    2×atan(3.83272263940815)-π/2
    2×1.31557501889783-π/2
    2.63115003779567-1.57079632675     		φ = 1.06035371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33747577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.335937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06035371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.753792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14624 KachelY 9377 -0.33747577 1.06035371 -19.335937 60.753792
    Oben rechts KachelX + 1 14625 KachelY 9377 -0.33728403 1.06035371 -19.324951 60.753792
    Unten links KachelX 14624 KachelY + 1 9378 -0.33747577 1.06026002 -19.335937 60.748424
    Unten rechts KachelX + 1 14625 KachelY + 1 9378 -0.33728403 1.06026002 -19.324951 60.748424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06035371-1.06026002) × R
    9.36899999999241e-05 × 6371000     		dl = 596.898989999517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06035371-1.06026002) × R
    9.36899999999241e-05 × 6371000     		dr = 596.898989999517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33747577--0.33728403) × cos(1.06035371) × R
    0.000191739999999996 × 0.488563490427722 × 6371000     		do = 596.817209643516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33747577--0.33728403) × cos(1.06026002) × R
    0.000191739999999996 × 0.488645235464146 × 6371000     		du = 596.917067380528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06035371)-sin(1.06026002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.488563490427722-0.488645235464146)×R²
    abs(-0.33728403--0.33747577)×8.17450364238304e-05×R²
    0.000191739999999996×8.17450364238304e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.17450364238304e-05×40589641000000     		ar = 356269.392401604m²