Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14624 / 8984
↖ ↑ ↗
← N 62.794935°
W 19.335937°		 ← 558.48 m → N 62.794935°
W 19.324951°		 →
↑
558.55 m
↓
↑
558.55 m
↓
N 62.789912°
W 19.335937°		 ← 558.57 m →
311 961 m²		 N 62.789912°
W 19.324951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446304321289062 y=0.274185180664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446304321289062 × 215)
    floor (0.446304321289062 × 32768)
    floor (14624.5)     		tx = 14624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274185180664062 × 215)
    floor (0.274185180664062 × 32768)
    floor (8984.5)     		ty = 8984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14624 / 8984 ti = "15/14624/8984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14624/8984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14624 ÷ 215
    14624 ÷ 32768     		x = 0.4462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8984 ÷ 215
    8984 ÷ 32768     		y = 0.274169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4462890625 × 2 - 1) × π
    -0.107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33747577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274169921875 × 2 - 1) × π
    0.45166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.41893222875366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33747577} λ = -0.33747577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41893222875366))-π/2
    2×atan(4.13270529960226)-π/2
    2×1.33338734699403-π/2
    2.66677469398806-1.57079632675     		φ = 1.09597837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33747577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.335937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09597837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.794935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14624 KachelY 8984 -0.33747577 1.09597837 -19.335937 62.794935
    Oben rechts KachelX + 1 14625 KachelY 8984 -0.33728403 1.09597837 -19.324951 62.794935
    Unten links KachelX 14624 KachelY + 1 8985 -0.33747577 1.09589070 -19.335937 62.789912
    Unten rechts KachelX + 1 14625 KachelY + 1 8985 -0.33728403 1.09589070 -19.324951 62.789912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09597837-1.09589070) × R
    8.76700000000952e-05 × 6371000     		dl = 558.545570000606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09597837-1.09589070) × R
    8.76700000000952e-05 × 6371000     		dr = 558.545570000606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33747577--0.33728403) × cos(1.09597837) × R
    0.000191739999999996 × 0.457176549904494 × 6371000     		do = 558.475690824907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33747577--0.33728403) × cos(1.09589070) × R
    0.000191739999999996 × 0.457254519738068 × 6371000     		du = 558.570936866459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09597837)-sin(1.09589070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457176549904494-0.457254519738068)×R²
    abs(-0.33728403--0.33747577)×7.79698335740542e-05×R²
    0.000191739999999996×7.79698335740542e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.79698335740542e-05×40589641000000     		ar = 311960.722890027m²