Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14624 / 8981
↖ ↑ ↗
← N 62.809999°
W 19.335937°		 ← 558.19 m → N 62.809999°
W 19.324951°		 →
↑
558.29 m
↓
↑
558.29 m
↓
N 62.804978°
W 19.335937°		 ← 558.29 m →
311 659 m²		 N 62.804978°
W 19.324951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446304321289062 y=0.274093627929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446304321289062 × 215)
    floor (0.446304321289062 × 32768)
    floor (14624.5)     		tx = 14624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274093627929688 × 215)
    floor (0.274093627929688 × 32768)
    floor (8981.5)     		ty = 8981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14624 / 8981 ti = "15/14624/8981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14624/8981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14624 ÷ 215
    14624 ÷ 32768     		x = 0.4462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8981 ÷ 215
    8981 ÷ 32768     		y = 0.274078369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4462890625 × 2 - 1) × π
    -0.107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33747577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274078369140625 × 2 - 1) × π
    0.45184326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.4195074715491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33747577} λ = -0.33747577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4195074715491))-π/2
    2×atan(4.13508329244759)-π/2
    2×1.33351880712069-π/2
    2.66703761424138-1.57079632675     		φ = 1.09624129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33747577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.335937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09624129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.809999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14624 KachelY 8981 -0.33747577 1.09624129 -19.335937 62.809999
    Oben rechts KachelX + 1 14625 KachelY 8981 -0.33728403 1.09624129 -19.324951 62.809999
    Unten links KachelX 14624 KachelY + 1 8982 -0.33747577 1.09615366 -19.335937 62.804978
    Unten rechts KachelX + 1 14625 KachelY + 1 8982 -0.33728403 1.09615366 -19.324951 62.804978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09624129-1.09615366) × R
    8.76300000001162e-05 × 6371000     		dl = 558.29073000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09624129-1.09615366) × R
    8.76300000001162e-05 × 6371000     		dr = 558.29073000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33747577--0.33728403) × cos(1.09624129) × R
    0.000191739999999996 × 0.45694269937759 × 6371000     		do = 558.190024741225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33747577--0.33728403) × cos(1.09615366) × R
    0.000191739999999996 × 0.457020644169134 × 6371000     		du = 558.285240192046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09624129)-sin(1.09615366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45694269937759-0.457020644169134)×R²
    abs(-0.33728403--0.33747577)×7.79447915437714e-05×R²
    0.000191739999999996×7.79447915437714e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.79447915437714e-05×40589641000000     		ar = 311658.895543352m²