Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14623 / 9781
↖ ↑ ↗
← N 58.510914°
W 19.346924°		 ← 638.11 m → N 58.510914°
W 19.335937°		 →
↑
638.12 m
↓
↑
638.12 m
↓
N 58.505175°
W 19.346924°		 ← 638.21 m →
407 221 m²		 N 58.505175°
W 19.335937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446273803710938 y=0.298507690429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446273803710938 × 215)
    floor (0.446273803710938 × 32768)
    floor (14623.5)     		tx = 14623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298507690429688 × 215)
    floor (0.298507690429688 × 32768)
    floor (9781.5)     		ty = 9781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14623 / 9781 ti = "15/14623/9781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14623/9781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14623 ÷ 215
    14623 ÷ 32768     		x = 0.446258544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9781 ÷ 215
    9781 ÷ 32768     		y = 0.298492431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446258544921875 × 2 - 1) × π
    -0.10748291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33766752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298492431640625 × 2 - 1) × π
    0.40301513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26610939276492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33766752} λ = -0.33766752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26610939276492))-π/2
    2×atan(3.54702559869716)-π/2
    2×1.29600220970239-π/2
    2.59200441940478-1.57079632675     		φ = 1.02120809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33766752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.346924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02120809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.510914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14623 KachelY 9781 -0.33766752 1.02120809 -19.346924 58.510914
    Oben rechts KachelX + 1 14624 KachelY 9781 -0.33747577 1.02120809 -19.335937 58.510914
    Unten links KachelX 14623 KachelY + 1 9782 -0.33766752 1.02110793 -19.346924 58.505175
    Unten rechts KachelX + 1 14624 KachelY + 1 9782 -0.33747577 1.02110793 -19.335937 58.505175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02120809-1.02110793) × R
    0.000100159999999905 × 6371000     		dl = 638.119359999393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02120809-1.02110793) × R
    0.000100159999999905 × 6371000     		dr = 638.119359999393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33766752--0.33747577) × cos(1.02120809) × R
    0.000191749999999991 × 0.522336146400415 × 6371000     		do = 638.106338136462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33766752--0.33747577) × cos(1.02110793) × R
    0.000191749999999991 × 0.52242155418589 × 6371000     		du = 638.210675639453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02120809)-sin(1.02110793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522336146400415-0.52242155418589)×R²
    abs(-0.33747577--0.33766752)×8.54077854749447e-05×R²
    0.000191749999999991×8.54077854749447e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.54077854749447e-05×40589641000000     		ar = 407221.298333607m²