Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14623 / 17257
↖ ↑ ↗
← N 78.711479°
W139.836731°		 ← 59.79 m → N 78.711479°
W139.833984°		 →
↑
59.82 m
↓
↑
59.82 m
↓
N 78.710941°
W139.836731°		 ← 59.79 m →
3 577 m²		 N 78.710941°
W139.833984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.111568450927734 y=0.131664276123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.111568450927734 × 217)
    floor (0.111568450927734 × 131072)
    floor (14623.5)     		tx = 14623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131664276123047 × 217)
    floor (0.131664276123047 × 131072)
    floor (17257.5)     		ty = 17257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14623 / 17257 ti = "17/14623/17257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14623/17257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14623 ÷ 217
    14623 ÷ 131072     		x = 0.111564636230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17257 ÷ 217
    17257 ÷ 131072     		y = 0.131660461425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.111564636230469 × 2 - 1) × π
    -0.776870727539062 × 3.1415926535     		Λ = -2.44061137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131660461425781 × 2 - 1) × π
    0.736679077148438 × 3.1415926535     		Φ = 2.31434557675669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.44061137} λ = -2.44061137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31434557675669))-π/2
    2×atan(10.118299101475)-π/2
    2×1.47228539191845-π/2
    2.94457078383691-1.57079632675     		φ = 1.37377446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.44061137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.836731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37377446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.711479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14623 KachelY 17257 -2.44061137 1.37377446 -139.836731 78.711479
    Oben rechts KachelX + 1 14624 KachelY 17257 -2.44056343 1.37377446 -139.833984 78.711479
    Unten links KachelX 14623 KachelY + 1 17258 -2.44061137 1.37376507 -139.836731 78.710941
    Unten rechts KachelX + 1 14624 KachelY + 1 17258 -2.44056343 1.37376507 -139.833984 78.710941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37377446-1.37376507) × R
    9.38999999999801e-06 × 6371000     		dl = 59.8236899999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37377446-1.37376507) × R
    9.38999999999801e-06 × 6371000     		dr = 59.8236899999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.44061137--2.44056343) × cos(1.37377446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19574968526489 × 6371000     		do = 59.7869924767568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.44061137--2.44056343) × cos(1.37376507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195758893596329 × 6371000     		du = 59.7898049382007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37377446)-sin(1.37376507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19574968526489-0.195758893596329)×R²
    abs(-2.44056343--2.44061137)×9.20833143899791e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.20833143899791e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.20833143899791e-06×40589641000000     		ar = 3576.76262989517m²