Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14622 / 9052
↖ ↑ ↗
← N 62.451406°
W 19.357910°		 ← 565.01 m → N 62.451406°
W 19.346924°		 →
↑
565.11 m
↓
↑
565.11 m
↓
N 62.446324°
W 19.357910°		 ← 565.11 m →
319 318 m²		 N 62.446324°
W 19.346924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446243286132812 y=0.276260375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446243286132812 × 215)
    floor (0.446243286132812 × 32768)
    floor (14622.5)     		tx = 14622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276260375976562 × 215)
    floor (0.276260375976562 × 32768)
    floor (9052.5)     		ty = 9052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14622 / 9052 ti = "15/14622/9052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14622/9052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14622 ÷ 215
    14622 ÷ 32768     		x = 0.44622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9052 ÷ 215
    9052 ÷ 32768     		y = 0.2762451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.1075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33785927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2762451171875 × 2 - 1) × π
    0.447509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.40589339205701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33785927} λ = -0.33785927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40589339205701))-π/2
    2×atan(4.0791694114103)-π/2
    2×1.33038949098043-π/2
    2.66077898196085-1.57079632675     		φ = 1.08998266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33785927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.357910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08998266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.451406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14622 KachelY 9052 -0.33785927 1.08998266 -19.357910 62.451406
    Oben rechts KachelX + 1 14623 KachelY 9052 -0.33766752 1.08998266 -19.346924 62.451406
    Unten links KachelX 14622 KachelY + 1 9053 -0.33785927 1.08989396 -19.357910 62.446324
    Unten rechts KachelX + 1 14623 KachelY + 1 9053 -0.33766752 1.08989396 -19.346924 62.446324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08998266-1.08989396) × R
    8.87000000000526e-05 × 6371000     		dl = 565.107700000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08998266-1.08989396) × R
    8.87000000000526e-05 × 6371000     		dr = 565.107700000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33785927--0.33766752) × cos(1.08998266) × R
    0.000191749999999991 × 0.462500740916468 × 6371000     		do = 565.00905825761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33785927--0.33766752) × cos(1.08989396) × R
    0.000191749999999991 × 0.462579382192929 × 6371000     		du = 565.105129527605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08998266)-sin(1.08989396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462500740916468-0.462579382192929)×R²
    abs(-0.33766752--0.33785927)×7.86412764612332e-05×R²
    0.000191749999999991×7.86412764612332e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.86412764612332e-05×40589641000000     		ar = 319318.114908259m²