Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14622 / 7419
↖ ↑ ↗
← N 69.676174°
W 19.357910°		 ← 424.31 m → N 69.676174°
W 19.346924°		 →
↑
424.37 m
↓
↑
424.37 m
↓
N 69.672358°
W 19.357910°		 ← 424.38 m →
180 080 m²		 N 69.672358°
W 19.346924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446243286132812 y=0.226425170898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446243286132812 × 215)
    floor (0.446243286132812 × 32768)
    floor (14622.5)     		tx = 14622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226425170898438 × 215)
    floor (0.226425170898438 × 32768)
    floor (7419.5)     		ty = 7419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14622 / 7419 ti = "15/14622/7419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14622/7419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14622 ÷ 215
    14622 ÷ 32768     		x = 0.44622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7419 ÷ 215
    7419 ÷ 32768     		y = 0.226409912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.1075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33785927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226409912109375 × 2 - 1) × π
    0.54718017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71901722037521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33785927} λ = -0.33785927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71901722037521))-π/2
    2×atan(5.57904279952862)-π/2
    2×1.39343748679892-π/2
    2.78687497359785-1.57079632675     		φ = 1.21607865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33785927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.357910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21607865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.676174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14622 KachelY 7419 -0.33785927 1.21607865 -19.357910 69.676174
    Oben rechts KachelX + 1 14623 KachelY 7419 -0.33766752 1.21607865 -19.346924 69.676174
    Unten links KachelX 14622 KachelY + 1 7420 -0.33785927 1.21601204 -19.357910 69.672358
    Unten rechts KachelX + 1 14623 KachelY + 1 7420 -0.33766752 1.21601204 -19.346924 69.672358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21607865-1.21601204) × R
    6.6609999999967e-05 × 6371000     		dl = 424.37230999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21607865-1.21601204) × R
    6.6609999999967e-05 × 6371000     		dr = 424.37230999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33785927--0.33766752) × cos(1.21607865) × R
    0.000191749999999991 × 0.347325632024737 × 6371000     		do = 424.306624612454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33785927--0.33766752) × cos(1.21601204) × R
    0.000191749999999991 × 0.347388094420926 × 6371000     		du = 424.382931127288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21607865)-sin(1.21601204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347325632024737-0.347388094420926)×R²
    abs(-0.33766752--0.33785927)×6.24623961892334e-05×R²
    0.000191749999999991×6.24623961892334e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.24623961892334e-05×40589641000000     		ar = 180080.173687768m²