Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14621 / 9078
↖ ↑ ↗
← N 62.319003°
W 19.368897°		 ← 567.51 m → N 62.319003°
W 19.357910°		 →
↑
567.59 m
↓
↑
567.59 m
↓
N 62.313899°
W 19.368897°		 ← 567.61 m →
322 142 m²		 N 62.313899°
W 19.357910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446212768554688 y=0.277053833007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446212768554688 × 215)
    floor (0.446212768554688 × 32768)
    floor (14621.5)     		tx = 14621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277053833007812 × 215)
    floor (0.277053833007812 × 32768)
    floor (9078.5)     		ty = 9078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14621 / 9078 ti = "15/14621/9078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14621/9078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14621 ÷ 215
    14621 ÷ 32768     		x = 0.446197509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9078 ÷ 215
    9078 ÷ 32768     		y = 0.27703857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446197509765625 × 2 - 1) × π
    -0.10760498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33805102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27703857421875 × 2 - 1) × π
    0.4459228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.40090795449652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33805102} λ = -0.33805102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40090795449652))-π/2
    2×atan(4.05888357591051)-π/2
    2×1.32923405597603-π/2
    2.65846811195205-1.57079632675     		φ = 1.08767179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33805102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.368897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08767179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.319003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14621 KachelY 9078 -0.33805102 1.08767179 -19.368897 62.319003
    Oben rechts KachelX + 1 14622 KachelY 9078 -0.33785927 1.08767179 -19.357910 62.319003
    Unten links KachelX 14621 KachelY + 1 9079 -0.33805102 1.08758270 -19.368897 62.313899
    Unten rechts KachelX + 1 14622 KachelY + 1 9079 -0.33785927 1.08758270 -19.357910 62.313899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08767179-1.08758270) × R
    8.90899999999029e-05 × 6371000     		dl = 567.592389999381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08767179-1.08758270) × R
    8.90899999999029e-05 × 6371000     		dr = 567.592389999381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33805102--0.33785927) × cos(1.08767179) × R
    0.000191749999999991 × 0.464548365194198 × 6371000     		do = 567.510516444539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33805102--0.33785927) × cos(1.08758270) × R
    0.000191749999999991 × 0.464627256799518 × 6371000     		du = 567.606893526092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08767179)-sin(1.08758270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464548365194198-0.464627256799518)×R²
    abs(-0.33785927--0.33805102)×7.8891605319209e-05×R²
    0.000191749999999991×7.8891605319209e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.8891605319209e-05×40589641000000     		ar = 322142.002041167m²