Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14621 / 8982
↖ ↑ ↗
← N 62.804978°
W 19.368897°		 ← 558.31 m → N 62.804978°
W 19.357910°		 →
↑
558.35 m
↓
↑
558.35 m
↓
N 62.799957°
W 19.368897°		 ← 558.41 m →
311 764 m²		 N 62.799957°
W 19.357910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446212768554688 y=0.274124145507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446212768554688 × 215)
    floor (0.446212768554688 × 32768)
    floor (14621.5)     		tx = 14621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274124145507812 × 215)
    floor (0.274124145507812 × 32768)
    floor (8982.5)     		ty = 8982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14621 / 8982 ti = "15/14621/8982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14621/8982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14621 ÷ 215
    14621 ÷ 32768     		x = 0.446197509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8982 ÷ 215
    8982 ÷ 32768     		y = 0.27410888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446197509765625 × 2 - 1) × π
    -0.10760498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33805102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27410888671875 × 2 - 1) × π
    0.4517822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.41931572395062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33805102} λ = -0.33805102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41931572395062))-π/2
    2×atan(4.13429047616948)-π/2
    2×1.3334749945517-π/2
    2.6669499891034-1.57079632675     		φ = 1.09615366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33805102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.368897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09615366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.804978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14621 KachelY 8982 -0.33805102 1.09615366 -19.368897 62.804978
    Oben rechts KachelX + 1 14622 KachelY 8982 -0.33785927 1.09615366 -19.357910 62.804978
    Unten links KachelX 14621 KachelY + 1 8983 -0.33805102 1.09606602 -19.368897 62.799957
    Unten rechts KachelX + 1 14622 KachelY + 1 8983 -0.33785927 1.09606602 -19.357910 62.799957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09615366-1.09606602) × R
    8.76399999998334e-05 × 6371000     		dl = 558.354439998939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09615366-1.09606602) × R
    8.76399999998334e-05 × 6371000     		dr = 558.354439998939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33805102--0.33785927) × cos(1.09615366) × R
    0.000191749999999991 × 0.457020644169134 × 6371000     		do = 558.31435697727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33805102--0.33785927) × cos(1.09606602) × R
    0.000191749999999991 × 0.457098594345369 × 6371000     		du = 558.409583972103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09615366)-sin(1.09606602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457020644169134-0.457098594345369)×R²
    abs(-0.33785927--0.33805102)×7.79501762346313e-05×R²
    0.000191749999999991×7.79501762346313e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.79501762346313e-05×40589641000000     		ar = 311763.885540468m²