Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14620 / 9076
↖ ↑ ↗
← N 62.329209°
W 19.379883°		 ← 567.29 m → N 62.329209°
W 19.368897°		 →
↑
567.40 m
↓
↑
567.40 m
↓
N 62.324106°
W 19.379883°		 ← 567.38 m →
321 907 m²		 N 62.324106°
W 19.368897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446182250976562 y=0.276992797851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446182250976562 × 215)
    floor (0.446182250976562 × 32768)
    floor (14620.5)     		tx = 14620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276992797851562 × 215)
    floor (0.276992797851562 × 32768)
    floor (9076.5)     		ty = 9076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14620 / 9076 ti = "15/14620/9076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14620/9076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14620 ÷ 215
    14620 ÷ 32768     		x = 0.4461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9076 ÷ 215
    9076 ÷ 32768     		y = 0.2769775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33824276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2769775390625 × 2 - 1) × π
    0.446044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.40129144969348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33824276} λ = -0.33824276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40129144969348))-π/2
    2×atan(4.06044043677215)-π/2
    2×1.32932311688624-π/2
    2.65864623377247-1.57079632675     		φ = 1.08784991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33824276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.379883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08784991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.329209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14620 KachelY 9076 -0.33824276 1.08784991 -19.379883 62.329209
    Oben rechts KachelX + 1 14621 KachelY 9076 -0.33805102 1.08784991 -19.368897 62.329209
    Unten links KachelX 14620 KachelY + 1 9077 -0.33824276 1.08776085 -19.379883 62.324106
    Unten rechts KachelX + 1 14621 KachelY + 1 9077 -0.33805102 1.08776085 -19.368897 62.324106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08784991-1.08776085) × R
    8.90600000000852e-05 × 6371000     		dl = 567.401260000543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08784991-1.08776085) × R
    8.90600000000852e-05 × 6371000     		dr = 567.401260000543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33824276--0.33805102) × cos(1.08784991) × R
    0.000191739999999996 × 0.464390624060615 × 6371000     		do = 567.28822735777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33824276--0.33805102) × cos(1.08776085) × R
    0.000191739999999996 × 0.464469496469419 × 6371000     		du = 567.384575963147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08784991)-sin(1.08776085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464390624060615-0.464469496469419)×R²
    abs(-0.33805102--0.33824276)×7.88724088041648e-05×R²
    0.000191739999999996×7.88724088041648e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.88724088041648e-05×40589641000000     		ar = 321907.389359674m²