Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14620 / 21549
↖ ↑ ↗
← S 49.246293°
W 19.379883°		 ← 797.46 m → S 49.246293°
W 19.368897°		 →
↑
797.46 m
↓
↑
797.46 m
↓
S 49.253465°
W 19.379883°		 ← 797.34 m →
635 891 m²		 S 49.253465°
W 19.368897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446182250976562 y=0.657638549804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446182250976562 × 215)
    floor (0.446182250976562 × 32768)
    floor (14620.5)     		tx = 14620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657638549804688 × 215)
    floor (0.657638549804688 × 32768)
    floor (21549.5)     		ty = 21549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14620 / 21549 ti = "15/14620/21549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14620/21549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14620 ÷ 215
    14620 ÷ 32768     		x = 0.4461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21549 ÷ 215
    21549 ÷ 32768     		y = 0.657623291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33824276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657623291015625 × 2 - 1) × π
    -0.31524658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.99037634615036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33824276} λ = -0.33824276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.99037634615036))-π/2
    2×atan(0.371436875875912)-π/2
    2×0.355643181948118-π/2
    0.711286363896237-1.57079632675     		φ = -0.85950996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33824276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.379883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85950996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.246293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14620 KachelY 21549 -0.33824276 -0.85950996 -19.379883 -49.246293
    Oben rechts KachelX + 1 14621 KachelY 21549 -0.33805102 -0.85950996 -19.368897 -49.246293
    Unten links KachelX 14620 KachelY + 1 21550 -0.33824276 -0.85963513 -19.379883 -49.253465
    Unten rechts KachelX + 1 14621 KachelY + 1 21550 -0.33805102 -0.85963513 -19.368897 -49.253465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85950996--0.85963513) × R
    0.000125170000000008 × 6371000     		dl = 797.45807000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85950996--0.85963513) × R
    0.000125170000000008 × 6371000     		dr = 797.45807000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33824276--0.33805102) × cos(-0.85950996) × R
    0.000191739999999996 × 0.652808762980805 × 6371000     		do = 797.455217154991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33824276--0.33805102) × cos(-0.85963513) × R
    0.000191739999999996 × 0.652713938744302 × 6371000     		du = 797.339382187081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85950996)-sin(-0.85963513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652808762980805-0.652713938744302)×R²
    abs(-0.33805102--0.33824276)×9.48242365024221e-05×R²
    0.000191739999999996×9.48242365024221e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.48242365024221e-05×40589641000000     		ar = 635890.912448685m²