Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14619 / 9067
↖ ↑ ↗
← N 62.375091°
W 19.390869°		 ← 566.45 m → N 62.375091°
W 19.379883°		 →
↑
566.51 m
↓
↑
566.51 m
↓
N 62.369996°
W 19.390869°		 ← 566.55 m →
320 927 m²		 N 62.369996°
W 19.379883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446151733398438 y=0.276718139648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446151733398438 × 215)
    floor (0.446151733398438 × 32768)
    floor (14619.5)     		tx = 14619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276718139648438 × 215)
    floor (0.276718139648438 × 32768)
    floor (9067.5)     		ty = 9067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14619 / 9067 ti = "15/14619/9067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14619/9067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14619 ÷ 215
    14619 ÷ 32768     		x = 0.446136474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9067 ÷ 215
    9067 ÷ 32768     		y = 0.276702880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446136474609375 × 2 - 1) × π
    -0.10772705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33843451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276702880859375 × 2 - 1) × π
    0.44659423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.4030171780798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33843451} λ = -0.33843451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4030171780798))-π/2
    2×atan(4.06745370385135)-π/2
    2×1.32972351683174-π/2
    2.65944703366348-1.57079632675     		φ = 1.08865071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33843451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.390869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08865071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.375091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14619 KachelY 9067 -0.33843451 1.08865071 -19.390869 62.375091
    Oben rechts KachelX + 1 14620 KachelY 9067 -0.33824276 1.08865071 -19.379883 62.375091
    Unten links KachelX 14619 KachelY + 1 9068 -0.33843451 1.08856179 -19.390869 62.369996
    Unten rechts KachelX + 1 14620 KachelY + 1 9068 -0.33824276 1.08856179 -19.379883 62.369996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08865071-1.08856179) × R
    8.89200000000478e-05 × 6371000     		dl = 566.509320000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08865071-1.08856179) × R
    8.89200000000478e-05 × 6371000     		dr = 566.509320000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33843451--0.33824276) × cos(1.08865071) × R
    0.000191750000000046 × 0.463681262345148 × 6371000     		do = 566.451229570516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33843451--0.33824276) × cos(1.08856179) × R
    0.000191750000000046 × 0.463760043816948 × 6371000     		du = 566.547472108639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08865071)-sin(1.08856179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463681262345148-0.463760043816948)×R²
    abs(-0.33824276--0.33843451)×7.87814717996271e-05×R²
    0.000191750000000046×7.87814717996271e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.87814717996271e-05×40589641000000     		ar = 320927.162236222m²