Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14619 / 7108
↖ ↑ ↗
← N 70.830248°
W 19.390869°		 ← 401.15 m → N 70.830248°
W 19.379883°		 →
↑
401.18 m
↓
↑
401.18 m
↓
N 70.826640°
W 19.390869°		 ← 401.22 m →
160 948 m²		 N 70.826640°
W 19.379883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446151733398438 y=0.216934204101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446151733398438 × 215)
    floor (0.446151733398438 × 32768)
    floor (14619.5)     		tx = 14619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216934204101562 × 215)
    floor (0.216934204101562 × 32768)
    floor (7108.5)     		ty = 7108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14619 / 7108 ti = "15/14619/7108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14619/7108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14619 ÷ 215
    14619 ÷ 32768     		x = 0.446136474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7108 ÷ 215
    7108 ÷ 32768     		y = 0.2169189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446136474609375 × 2 - 1) × π
    -0.10772705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33843451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2169189453125 × 2 - 1) × π
    0.566162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.77865072350256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33843451} λ = -0.33843451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77865072350256))-π/2
    2×atan(5.92186079805684)-π/2
    2×1.40350867890866-π/2
    2.80701735781732-1.57079632675     		φ = 1.23622103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33843451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.390869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23622103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.830248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14619 KachelY 7108 -0.33843451 1.23622103 -19.390869 70.830248
    Oben rechts KachelX + 1 14620 KachelY 7108 -0.33824276 1.23622103 -19.379883 70.830248
    Unten links KachelX 14619 KachelY + 1 7109 -0.33843451 1.23615806 -19.390869 70.826640
    Unten rechts KachelX + 1 14620 KachelY + 1 7109 -0.33824276 1.23615806 -19.379883 70.826640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23622103-1.23615806) × R
    6.29700000001066e-05 × 6371000     		dl = 401.181870000679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23622103-1.23615806) × R
    6.29700000001066e-05 × 6371000     		dr = 401.181870000679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33843451--0.33824276) × cos(1.23622103) × R
    0.000191750000000046 × 0.328368046150018 × 6371000     		do = 401.147293622769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33843451--0.33824276) × cos(1.23615806) × R
    0.000191750000000046 × 0.328427523803245 × 6371000     		du = 401.21995385845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23622103)-sin(1.23615806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328368046150018-0.328427523803245)×R²
    abs(-0.33824276--0.33843451)×5.94776532271135e-05×R²
    0.000191750000000046×5.94776532271135e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.94776532271135e-05×40589641000000     		ar = 160947.596439395m²