Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14618 / 9810
↖ ↑ ↗
← N 58.344101°
W 19.401856°		 ← 641.14 m → N 58.344101°
W 19.390869°		 →
↑
641.24 m
↓
↑
641.24 m
↓
N 58.338334°
W 19.401856°		 ← 641.24 m →
411 157 m²		 N 58.338334°
W 19.390869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446121215820312 y=0.299392700195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446121215820312 × 215)
    floor (0.446121215820312 × 32768)
    floor (14618.5)     		tx = 14618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299392700195312 × 215)
    floor (0.299392700195312 × 32768)
    floor (9810.5)     		ty = 9810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14618 / 9810 ti = "15/14618/9810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14618/9810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14618 ÷ 215
    14618 ÷ 32768     		x = 0.44610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9810 ÷ 215
    9810 ÷ 32768     		y = 0.29937744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44610595703125 × 2 - 1) × π
    -0.1077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33862626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29937744140625 × 2 - 1) × π
    0.4012451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.260548712409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33862626} λ = -0.33862626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.260548712409))-π/2
    2×atan(3.52735646070584)-π/2
    2×1.29454649093832-π/2
    2.58909298187665-1.57079632675     		φ = 1.01829666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33862626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.401856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01829666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.344101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14618 KachelY 9810 -0.33862626 1.01829666 -19.401856 58.344101
    Oben rechts KachelX + 1 14619 KachelY 9810 -0.33843451 1.01829666 -19.390869 58.344101
    Unten links KachelX 14618 KachelY + 1 9811 -0.33862626 1.01819601 -19.401856 58.338334
    Unten rechts KachelX + 1 14619 KachelY + 1 9811 -0.33843451 1.01819601 -19.390869 58.338334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01829666-1.01819601) × R
    0.000100650000000035 × 6371000     		dl = 641.241150000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01829666-1.01819601) × R
    0.000100650000000035 × 6371000     		dr = 641.241150000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33862626--0.33843451) × cos(1.01829666) × R
    0.000191749999999991 × 0.524816620989695 × 6371000     		do = 641.136583253353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33862626--0.33843451) × cos(1.01819601) × R
    0.000191749999999991 × 0.524902293152807 × 6371000     		du = 641.241243730443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01829666)-sin(1.01819601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524816620989695-0.524902293152807)×R²
    abs(-0.33843451--0.33862626)×8.56721631119495e-05×R²
    0.000191749999999991×8.56721631119495e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.56721631119495e-05×40589641000000     		ar = 411156.716601757m²