Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14618 / 7110
↖ ↑ ↗
← N 70.823031°
W 19.401856°		 ← 401.29 m → N 70.823031°
W 19.390869°		 →
↑
401.31 m
↓
↑
401.31 m
↓
N 70.819422°
W 19.401856°		 ← 401.37 m →
161 057 m²		 N 70.819422°
W 19.390869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446121215820312 y=0.216995239257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446121215820312 × 215)
    floor (0.446121215820312 × 32768)
    floor (14618.5)     		tx = 14618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216995239257812 × 215)
    floor (0.216995239257812 × 32768)
    floor (7110.5)     		ty = 7110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14618 / 7110 ti = "15/14618/7110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14618/7110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14618 ÷ 215
    14618 ÷ 32768     		x = 0.44610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7110 ÷ 215
    7110 ÷ 32768     		y = 0.21697998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44610595703125 × 2 - 1) × π
    -0.1077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33862626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21697998046875 × 2 - 1) × π
    0.5660400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7782672283056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33862626} λ = -0.33862626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7782672283056))-π/2
    2×atan(5.91959022828784)-π/2
    2×1.40344570371967-π/2
    2.80689140743934-1.57079632675     		φ = 1.23609508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33862626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.401856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23609508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.823031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14618 KachelY 7110 -0.33862626 1.23609508 -19.401856 70.823031
    Oben rechts KachelX + 1 14619 KachelY 7110 -0.33843451 1.23609508 -19.390869 70.823031
    Unten links KachelX 14618 KachelY + 1 7111 -0.33862626 1.23603209 -19.401856 70.819422
    Unten rechts KachelX + 1 14619 KachelY + 1 7111 -0.33843451 1.23603209 -19.390869 70.819422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23609508-1.23603209) × R
    6.2989999999985e-05 × 6371000     		dl = 401.309289999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23609508-1.23603209) × R
    6.2989999999985e-05 × 6371000     		dr = 401.309289999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33862626--0.33843451) × cos(1.23609508) × R
    0.000191749999999991 × 0.328487009599269 × 6371000     		do = 401.292624041574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33862626--0.33843451) × cos(1.23603209) × R
    0.000191749999999991 × 0.328546503537234 × 6371000     		du = 401.365304171329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23609508)-sin(1.23603209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328487009599269-0.328546503537234)×R²
    abs(-0.33843451--0.33862626)×5.94939379649495e-05×R²
    0.000191749999999991×5.94939379649495e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.94939379649495e-05×40589641000000     		ar = 161057.041694849m²