Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14618 / 10987
↖ ↑ ↗
← N 75.873350°
W 99.700928°		 ← 149.09 m → N 75.873350°
W 99.695434°		 →
↑
149.08 m
↓
↑
149.08 m
↓
N 75.872010°
W 99.700928°		 ← 149.10 m →
22 227 m²		 N 75.872010°
W 99.695434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.223060607910156 y=0.167655944824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.223060607910156 × 216)
    floor (0.223060607910156 × 65536)
    floor (14618.5)     		tx = 14618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167655944824219 × 216)
    floor (0.167655944824219 × 65536)
    floor (10987.5)     		ty = 10987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14618 / 10987 ti = "16/14618/10987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14618/10987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14618 ÷ 216
    14618 ÷ 65536     		x = 0.223052978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10987 ÷ 216
    10987 ÷ 65536     		y = 0.167648315429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.223052978515625 × 2 - 1) × π
    -0.55389404296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.74010946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167648315429688 × 2 - 1) × π
    0.664703369140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08822722124889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74010946} λ = -1.74010946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08822722124889))-π/2
    2×atan(8.07059509540451)-π/2
    2×1.44751805497696-π/2
    2.89503610995391-1.57079632675     		φ = 1.32423978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74010946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.700928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32423978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.873350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14618 KachelY 10987 -1.74010946 1.32423978 -99.700928 75.873350
    Oben rechts KachelX + 1 14619 KachelY 10987 -1.74001358 1.32423978 -99.695434 75.873350
    Unten links KachelX 14618 KachelY + 1 10988 -1.74010946 1.32421638 -99.700928 75.872010
    Unten rechts KachelX + 1 14619 KachelY + 1 10988 -1.74001358 1.32421638 -99.695434 75.872010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32423978-1.32421638) × R
    2.34000000001178e-05 × 6371000     		dl = 149.08140000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32423978-1.32421638) × R
    2.34000000001178e-05 × 6371000     		dr = 149.08140000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74010946--1.74001358) × cos(1.32423978) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.244066094485322 × 6371000     		do = 149.088135034081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74010946--1.74001358) × cos(1.32421638) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.244088786769731 × 6371000     		du = 149.101996649597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32423978)-sin(1.32421638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244066094485322-0.244088786769731)×R²
    abs(-1.74001358--1.74010946)×2.26922844085431e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.26922844085431e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.26922844085431e-05×40589641000000     		ar = 22227.3011501447m²