Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14617 / 7395
↖ ↑ ↗
← N 69.767556°
W 19.412842°		 ← 422.48 m → N 69.767556°
W 19.401856°		 →
↑
422.46 m
↓
↑
422.46 m
↓
N 69.763757°
W 19.412842°		 ← 422.55 m →
178 497 m²		 N 69.763757°
W 19.401856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446090698242188 y=0.225692749023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446090698242188 × 215)
    floor (0.446090698242188 × 32768)
    floor (14617.5)     		tx = 14617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225692749023438 × 215)
    floor (0.225692749023438 × 32768)
    floor (7395.5)     		ty = 7395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14617 / 7395 ti = "15/14617/7395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14617/7395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14617 ÷ 215
    14617 ÷ 32768     		x = 0.446075439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7395 ÷ 215
    7395 ÷ 32768     		y = 0.225677490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446075439453125 × 2 - 1) × π
    -0.10784912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33881801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225677490234375 × 2 - 1) × π
    0.54864501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72361916273874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33881801} λ = -0.33881801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72361916273874))-π/2
    2×atan(5.60477639979308)-π/2
    2×1.39423495079239-π/2
    2.78846990158479-1.57079632675     		φ = 1.21767357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33881801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.412842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21767357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.767556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14617 KachelY 7395 -0.33881801 1.21767357 -19.412842 69.767556
    Oben rechts KachelX + 1 14618 KachelY 7395 -0.33862626 1.21767357 -19.401856 69.767556
    Unten links KachelX 14617 KachelY + 1 7396 -0.33881801 1.21760726 -19.412842 69.763757
    Unten rechts KachelX + 1 14618 KachelY + 1 7396 -0.33862626 1.21760726 -19.401856 69.763757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21767357-1.21760726) × R
    6.63100000000139e-05 × 6371000     		dl = 422.461010000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21767357-1.21760726) × R
    6.63100000000139e-05 × 6371000     		dr = 422.461010000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33881801--0.33862626) × cos(1.21767357) × R
    0.000191749999999991 × 0.345829563308338 × 6371000     		do = 422.478968347804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33881801--0.33862626) × cos(1.21760726) × R
    0.000191749999999991 × 0.345891781045125 × 6371000     		du = 422.554975977109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21767357)-sin(1.21760726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345829563308338-0.345891781045125)×R²
    abs(-0.33862626--0.33881801)×6.22177367869403e-05×R²
    0.000191749999999991×6.22177367869403e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.22177367869403e-05×40589641000000     		ar = 178496.946867561m²