Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14616 / 7401
↖ ↑ ↗
← N 69.744748°
W 19.423828°		 ← 422.91 m → N 69.744748°
W 19.412842°		 →
↑
422.97 m
↓
↑
422.97 m
↓
N 69.740944°
W 19.423828°		 ← 422.99 m →
178 896 m²		 N 69.740944°
W 19.412842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446060180664062 y=0.225875854492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446060180664062 × 215)
    floor (0.446060180664062 × 32768)
    floor (14616.5)     		tx = 14616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225875854492188 × 215)
    floor (0.225875854492188 × 32768)
    floor (7401.5)     		ty = 7401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14616 / 7401 ti = "15/14616/7401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14616/7401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14616 ÷ 215
    14616 ÷ 32768     		x = 0.446044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7401 ÷ 215
    7401 ÷ 32768     		y = 0.225860595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446044921875 × 2 - 1) × π
    -0.10791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33900975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225860595703125 × 2 - 1) × π
    0.54827880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.72246867714786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33900975} λ = -0.33900975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72246867714786))-π/2
    2×atan(5.59833189317185)-π/2
    2×1.3940359074214-π/2
    2.7880718148428-1.57079632675     		φ = 1.21727549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33900975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.423828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21727549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.744748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14616 KachelY 7401 -0.33900975 1.21727549 -19.423828 69.744748
    Oben rechts KachelX + 1 14617 KachelY 7401 -0.33881801 1.21727549 -19.412842 69.744748
    Unten links KachelX 14616 KachelY + 1 7402 -0.33900975 1.21720910 -19.423828 69.740944
    Unten rechts KachelX + 1 14617 KachelY + 1 7402 -0.33881801 1.21720910 -19.412842 69.740944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21727549-1.21720910) × R
    6.63899999999717e-05 × 6371000     		dl = 422.97068999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21727549-1.21720910) × R
    6.63899999999717e-05 × 6371000     		dr = 422.97068999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33900975--0.33881801) × cos(1.21727549) × R
    0.000191739999999996 × 0.346203053305334 × 6371000     		do = 422.913181791103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33900975--0.33881801) × cos(1.21720910) × R
    0.000191739999999996 × 0.346265336958547 × 6371000     		du = 422.989265978409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21727549)-sin(1.21720910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346203053305334-0.346265336958547)×R²
    abs(-0.33881801--0.33900975)×6.2283653212869e-05×R²
    0.000191739999999996×6.2283653212869e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.2283653212869e-05×40589641000000     		ar = 178895.971068941m²