Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14615 / 9675
↖ ↑ ↗
← N 59.113948°
W 19.434814°		 ← 627.11 m → N 59.113948°
W 19.423828°		 →
↑
627.16 m
↓
↑
627.16 m
↓
N 59.108308°
W 19.434814°		 ← 627.21 m →
393 330 m²		 N 59.108308°
W 19.423828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446029663085938 y=0.295272827148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446029663085938 × 215)
    floor (0.446029663085938 × 32768)
    floor (14615.5)     		tx = 14615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295272827148438 × 215)
    floor (0.295272827148438 × 32768)
    floor (9675.5)     		ty = 9675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14615 / 9675 ti = "15/14615/9675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14615/9675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14615 ÷ 215
    14615 ÷ 32768     		x = 0.446014404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9675 ÷ 215
    9675 ÷ 32768     		y = 0.295257568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446014404296875 × 2 - 1) × π
    -0.10797119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33920150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295257568359375 × 2 - 1) × π
    0.40948486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28643463820383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33920150} λ = -0.33920150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28643463820383))-π/2
    2×atan(3.61985741957342)-π/2
    2×1.30126467975791-π/2
    2.60252935951581-1.57079632675     		φ = 1.03173303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33920150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.434814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03173303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.113948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14615 KachelY 9675 -0.33920150 1.03173303 -19.434814 59.113948
    Oben rechts KachelX + 1 14616 KachelY 9675 -0.33900975 1.03173303 -19.423828 59.113948
    Unten links KachelX 14615 KachelY + 1 9676 -0.33920150 1.03163459 -19.434814 59.108308
    Unten rechts KachelX + 1 14616 KachelY + 1 9676 -0.33900975 1.03163459 -19.423828 59.108308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03173303-1.03163459) × R
    9.8440000000144e-05 × 6371000     		dl = 627.161240000917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03173303-1.03163459) × R
    9.8440000000144e-05 × 6371000     		dr = 627.161240000917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33920150--0.33900975) × cos(1.03173303) × R
    0.000191749999999991 × 0.513332347744965 × 6371000     		do = 627.106944299867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33920150--0.33900975) × cos(1.03163459) × R
    0.000191749999999991 × 0.513416825471166 × 6371000     		du = 627.210145605945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03173303)-sin(1.03163459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513332347744965-0.513416825471166)×R²
    abs(-0.33900975--0.33920150)×8.44777262007934e-05×R²
    0.000191749999999991×8.44777262007934e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.44777262007934e-05×40589641000000     		ar = 393329.531046875m²