Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14615 / 21673
↖ ↑ ↗
← S 50.127622°
W 19.434814°		 ← 783.17 m → S 50.127622°
W 19.423828°		 →
↑
783.06 m
↓
↑
783.06 m
↓
S 50.134664°
W 19.434814°		 ← 783.05 m →
613 222 m²		 S 50.134664°
W 19.423828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446029663085938 y=0.661422729492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446029663085938 × 215)
    floor (0.446029663085938 × 32768)
    floor (14615.5)     		tx = 14615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661422729492188 × 215)
    floor (0.661422729492188 × 32768)
    floor (21673.5)     		ty = 21673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14615 / 21673 ti = "15/14615/21673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14615/21673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14615 ÷ 215
    14615 ÷ 32768     		x = 0.446014404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21673 ÷ 215
    21673 ÷ 32768     		y = 0.661407470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446014404296875 × 2 - 1) × π
    -0.10797119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33920150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.32281494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01415304836191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33920150} λ = -0.33920150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01415304836191))-π/2
    2×atan(0.362709497181327)-π/2
    2×0.347952140730193-π/2
    0.695904281460386-1.57079632675     		φ = -0.87489205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33920150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.434814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87489205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.127622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14615 KachelY 21673 -0.33920150 -0.87489205 -19.434814 -50.127622
    Oben rechts KachelX + 1 14616 KachelY 21673 -0.33900975 -0.87489205 -19.423828 -50.127622
    Unten links KachelX 14615 KachelY + 1 21674 -0.33920150 -0.87501496 -19.434814 -50.134664
    Unten rechts KachelX + 1 14616 KachelY + 1 21674 -0.33900975 -0.87501496 -19.423828 -50.134664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87489205--0.87501496) × R
    0.000122909999999976 × 6371000     		dl = 783.059609999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87489205--0.87501496) × R
    0.000122909999999976 × 6371000     		dr = 783.059609999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33920150--0.33900975) × cos(-0.87489205) × R
    0.000191749999999991 × 0.641079710749398 × 6371000     		do = 783.168137030072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33920150--0.33900975) × cos(-0.87501496) × R
    0.000191749999999991 × 0.640985375640804 × 6371000     		du = 783.052893558761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87489205)-sin(-0.87501496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641079710749398-0.640985375640804)×R²
    abs(-0.33900975--0.33920150)×9.43351085934685e-05×R²
    0.000191749999999991×9.43351085934685e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.43351085934685e-05×40589641000000     		ar = 613222.21546523m²