Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14615 / 20351
↖ ↑ ↗
← S 39.901309°
W 19.434814°		 ← 937.18 m → S 39.901309°
W 19.423828°		 →
↑
937.11 m
↓
↑
937.11 m
↓
S 39.909736°
W 19.434814°		 ← 937.07 m →
878 188 m²		 S 39.909736°
W 19.423828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446029663085938 y=0.621078491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446029663085938 × 215)
    floor (0.446029663085938 × 32768)
    floor (14615.5)     		tx = 14615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621078491210938 × 215)
    floor (0.621078491210938 × 32768)
    floor (20351.5)     		ty = 20351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14615 / 20351 ti = "15/14615/20351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14615/20351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14615 ÷ 215
    14615 ÷ 32768     		x = 0.446014404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20351 ÷ 215
    20351 ÷ 32768     		y = 0.621063232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446014404296875 × 2 - 1) × π
    -0.10797119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33920150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621063232421875 × 2 - 1) × π
    -0.24212646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.760662723171051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33920150} λ = -0.33920150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.760662723171051))-π/2
    2×atan(0.467356596309739)-π/2
    2×0.437193558068001-π/2
    0.874387116136002-1.57079632675     		φ = -0.69640921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33920150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.434814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69640921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.901309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14615 KachelY 20351 -0.33920150 -0.69640921 -19.434814 -39.901309
    Oben rechts KachelX + 1 14616 KachelY 20351 -0.33900975 -0.69640921 -19.423828 -39.901309
    Unten links KachelX 14615 KachelY + 1 20352 -0.33920150 -0.69655630 -19.434814 -39.909736
    Unten rechts KachelX + 1 14616 KachelY + 1 20352 -0.33900975 -0.69655630 -19.423828 -39.909736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69640921--0.69655630) × R
    0.000147090000000016 × 6371000     		dl = 937.110390000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69640921--0.69655630) × R
    0.000147090000000016 × 6371000     		dr = 937.110390000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33920150--0.33900975) × cos(-0.69640921) × R
    0.000191749999999991 × 0.767150501897154 × 6371000     		do = 937.181163774716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33920150--0.33900975) × cos(-0.69655630) × R
    0.000191749999999991 × 0.767056140195237 × 6371000     		du = 937.065887815958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69640921)-sin(-0.69655630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767150501897154-0.767056140195237)×R²
    abs(-0.33900975--0.33920150)×9.43617019170118e-05×R²
    0.000191749999999991×9.43617019170118e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.43617019170118e-05×40589641000000     		ar = 878188.194320013m²