Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14614 / 9382
↖ ↑ ↗
← N 60.726944°
W 19.445801°		 ← 597.35 m → N 60.726944°
W 19.434814°		 →
↑
597.41 m
↓
↑
597.41 m
↓
N 60.721571°
W 19.445801°		 ← 597.45 m →
356 891 m²		 N 60.721571°
W 19.434814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445999145507812 y=0.286331176757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445999145507812 × 215)
    floor (0.445999145507812 × 32768)
    floor (14614.5)     		tx = 14614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286331176757812 × 215)
    floor (0.286331176757812 × 32768)
    floor (9382.5)     		ty = 9382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14614 / 9382 ti = "15/14614/9382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14614/9382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14614 ÷ 215
    14614 ÷ 32768     		x = 0.44598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9382 ÷ 215
    9382 ÷ 32768     		y = 0.28631591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.1080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33939325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28631591796875 × 2 - 1) × π
    0.4273681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.34261668455853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33939325} λ = -0.33939325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34261668455853))-π/2
    2×atan(3.82904982351482)-π/2
    2×1.3153407187314-π/2
    2.6306814374628-1.57079632675     		φ = 1.05988511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33939325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.445801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05988511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.726944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14614 KachelY 9382 -0.33939325 1.05988511 -19.445801 60.726944
    Oben rechts KachelX + 1 14615 KachelY 9382 -0.33920150 1.05988511 -19.434814 60.726944
    Unten links KachelX 14614 KachelY + 1 9383 -0.33939325 1.05979134 -19.445801 60.721571
    Unten rechts KachelX + 1 14615 KachelY + 1 9383 -0.33920150 1.05979134 -19.434814 60.721571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05988511-1.05979134) × R
    9.3769999999882e-05 × 6371000     		dl = 597.408669999248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05988511-1.05979134) × R
    9.3769999999882e-05 × 6371000     		dr = 597.408669999248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33939325--0.33920150) × cos(1.05988511) × R
    0.000191749999999991 × 0.488972303555188 × 6371000     		do = 597.347758185903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33939325--0.33920150) × cos(1.05979134) × R
    0.000191749999999991 × 0.489054096911653 × 6371000     		du = 597.44768016055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05988511)-sin(1.05979134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.488972303555188-0.489054096911653)×R²
    abs(-0.33920150--0.33939325)×8.17933564647433e-05×R²
    0.000191749999999991×8.17933564647433e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.17933564647433e-05×40589641000000     		ar = 356890.577132947m²