Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14614 / 7394
↖ ↑ ↗
← N 69.771356°
W 19.445801°		 ← 422.40 m → N 69.771356°
W 19.434814°		 →
↑
422.46 m
↓
↑
422.46 m
↓
N 69.767556°
W 19.445801°		 ← 422.48 m →
178 465 m²		 N 69.767556°
W 19.434814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445999145507812 y=0.225662231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445999145507812 × 215)
    floor (0.445999145507812 × 32768)
    floor (14614.5)     		tx = 14614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225662231445312 × 215)
    floor (0.225662231445312 × 32768)
    floor (7394.5)     		ty = 7394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14614 / 7394 ti = "15/14614/7394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14614/7394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14614 ÷ 215
    14614 ÷ 32768     		x = 0.44598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7394 ÷ 215
    7394 ÷ 32768     		y = 0.22564697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.1080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33939325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22564697265625 × 2 - 1) × π
    0.5487060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.72381091033722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33939325} λ = -0.33939325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72381091033722))-π/2
    2×atan(5.60585120525015)-π/2
    2×1.39426810380359-π/2
    2.78853620760718-1.57079632675     		φ = 1.21773988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33939325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.445801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21773988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.771356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14614 KachelY 7394 -0.33939325 1.21773988 -19.445801 69.771356
    Oben rechts KachelX + 1 14615 KachelY 7394 -0.33920150 1.21773988 -19.434814 69.771356
    Unten links KachelX 14614 KachelY + 1 7395 -0.33939325 1.21767357 -19.445801 69.767556
    Unten rechts KachelX + 1 14615 KachelY + 1 7395 -0.33920150 1.21767357 -19.434814 69.767556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21773988-1.21767357) × R
    6.63100000000139e-05 × 6371000     		dl = 422.461010000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21773988-1.21767357) × R
    6.63100000000139e-05 × 6371000     		dr = 422.461010000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33939325--0.33920150) × cos(1.21773988) × R
    0.000191749999999991 × 0.345767344050933 × 6371000     		do = 422.402958860852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33939325--0.33920150) × cos(1.21767357) × R
    0.000191749999999991 × 0.345829563308338 × 6371000     		du = 422.478968347804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21773988)-sin(1.21767357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345767344050933-0.345829563308338)×R²
    abs(-0.33920150--0.33939325)×6.22192574050717e-05×R²
    0.000191749999999991×6.22192574050717e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.22192574050717e-05×40589641000000     		ar = 178464.836215246m²