Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14612 / 8976
↖ ↑ ↗
← N 62.835089°
W 19.467773°		 ← 557.71 m → N 62.835089°
W 19.456787°		 →
↑
557.78 m
↓
↑
557.78 m
↓
N 62.830073°
W 19.467773°		 ← 557.81 m →
311 109 m²		 N 62.830073°
W 19.456787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445938110351562 y=0.273941040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445938110351562 × 215)
    floor (0.445938110351562 × 32768)
    floor (14612.5)     		tx = 14612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273941040039062 × 215)
    floor (0.273941040039062 × 32768)
    floor (8976.5)     		ty = 8976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14612 / 8976 ti = "15/14612/8976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14612/8976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14612 ÷ 215
    14612 ÷ 32768     		x = 0.4459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8976 ÷ 215
    8976 ÷ 32768     		y = 0.27392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4459228515625 × 2 - 1) × π
    -0.108154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33977674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27392578125 × 2 - 1) × π
    0.4521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4204662095415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33977674} λ = -0.33977674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4204662095415))-π/2
    2×atan(4.1390496549492)-π/2
    2×1.3337377579047-π/2
    2.6674755158094-1.57079632675     		φ = 1.09667919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33977674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.467773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09667919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.835089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14612 KachelY 8976 -0.33977674 1.09667919 -19.467773 62.835089
    Oben rechts KachelX + 1 14613 KachelY 8976 -0.33958500 1.09667919 -19.456787 62.835089
    Unten links KachelX 14612 KachelY + 1 8977 -0.33977674 1.09659164 -19.467773 62.830073
    Unten rechts KachelX + 1 14613 KachelY + 1 8977 -0.33958500 1.09659164 -19.456787 62.830073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09667919-1.09659164) × R
    8.75499999999363e-05 × 6371000     		dl = 557.781049999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09667919-1.09659164) × R
    8.75499999999363e-05 × 6371000     		dr = 557.781049999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33977674--0.33958500) × cos(1.09667919) × R
    0.000191739999999996 × 0.456553145222833 × 6371000     		do = 557.714154914268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33977674--0.33958500) × cos(1.09659164) × R
    0.000191739999999996 × 0.456631036370249 × 6371000     		du = 557.809304834735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09667919)-sin(1.09659164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456553145222833-0.456631036370249)×R²
    abs(-0.33958500--0.33977674)×7.789114741652e-05×R²
    0.000191739999999996×7.789114741652e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.789114741652e-05×40589641000000     		ar = 311108.923537921m²