Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14612 / 7440
↖ ↑ ↗
← N 69.595890°
W 19.467773°		 ← 425.89 m → N 69.595890°
W 19.456787°		 →
↑
425.97 m
↓
↑
425.97 m
↓
N 69.592059°
W 19.467773°		 ← 425.97 m →
181 430 m²		 N 69.592059°
W 19.456787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445938110351562 y=0.227066040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445938110351562 × 215)
    floor (0.445938110351562 × 32768)
    floor (14612.5)     		tx = 14612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227066040039062 × 215)
    floor (0.227066040039062 × 32768)
    floor (7440.5)     		ty = 7440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14612 / 7440 ti = "15/14612/7440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14612/7440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14612 ÷ 215
    14612 ÷ 32768     		x = 0.4459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7440 ÷ 215
    7440 ÷ 32768     		y = 0.22705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4459228515625 × 2 - 1) × π
    -0.108154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33977674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22705078125 × 2 - 1) × π
    0.5458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71499052080713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33977674} λ = -0.33977674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71499052080713))-π/2
    2×atan(5.55662283981216)-π/2
    2×1.39273687711114-π/2
    2.78547375422228-1.57079632675     		φ = 1.21467743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33977674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.467773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21467743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.595890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14612 KachelY 7440 -0.33977674 1.21467743 -19.467773 69.595890
    Oben rechts KachelX + 1 14613 KachelY 7440 -0.33958500 1.21467743 -19.456787 69.595890
    Unten links KachelX 14612 KachelY + 1 7441 -0.33977674 1.21461057 -19.467773 69.592059
    Unten rechts KachelX + 1 14613 KachelY + 1 7441 -0.33958500 1.21461057 -19.456787 69.592059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21467743-1.21461057) × R
    6.68600000000019e-05 × 6371000     		dl = 425.965060000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21467743-1.21461057) × R
    6.68600000000019e-05 × 6371000     		dr = 425.965060000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33977674--0.33958500) × cos(1.21467743) × R
    0.000191739999999996 × 0.348639277088577 × 6371000     		do = 425.889213174679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33977674--0.33958500) × cos(1.21461057) × R
    0.000191739999999996 × 0.348701941311242 × 6371000     		du = 425.965762256319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21467743)-sin(1.21461057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348639277088577-0.348701941311242)×R²
    abs(-0.33958500--0.33977674)×6.2664222664266e-05×R²
    0.000191739999999996×6.2664222664266e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.2664222664266e-05×40589641000000     		ar = 181430.227927525m²