Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14612 / 7399
↖ ↑ ↗
← N 69.752354°
W 19.467773°		 ← 422.76 m → N 69.752354°
W 19.456787°		 →
↑
422.78 m
↓
↑
422.78 m
↓
N 69.748551°
W 19.467773°		 ← 422.84 m →
178 751 m²		 N 69.748551°
W 19.456787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445938110351562 y=0.225814819335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445938110351562 × 215)
    floor (0.445938110351562 × 32768)
    floor (14612.5)     		tx = 14612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225814819335938 × 215)
    floor (0.225814819335938 × 32768)
    floor (7399.5)     		ty = 7399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14612 / 7399 ti = "15/14612/7399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14612/7399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14612 ÷ 215
    14612 ÷ 32768     		x = 0.4459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7399 ÷ 215
    7399 ÷ 32768     		y = 0.225799560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4459228515625 × 2 - 1) × π
    -0.108154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33977674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225799560546875 × 2 - 1) × π
    0.54840087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.72285217234482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33977674} λ = -0.33977674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72285217234482))-π/2
    2×atan(5.60047923828582)-π/2
    2×1.39410227908531-π/2
    2.78820455817061-1.57079632675     		φ = 1.21740823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33977674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.467773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21740823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.752354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14612 KachelY 7399 -0.33977674 1.21740823 -19.467773 69.752354
    Oben rechts KachelX + 1 14613 KachelY 7399 -0.33958500 1.21740823 -19.456787 69.752354
    Unten links KachelX 14612 KachelY + 1 7400 -0.33977674 1.21734187 -19.467773 69.748551
    Unten rechts KachelX + 1 14613 KachelY + 1 7400 -0.33958500 1.21734187 -19.456787 69.748551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21740823-1.21734187) × R
    6.6359999999932e-05 × 6371000     		dl = 422.779559999567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21740823-1.21734187) × R
    6.6359999999932e-05 × 6371000     		dr = 422.779559999567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33977674--0.33958500) × cos(1.21740823) × R
    0.000191739999999996 × 0.346078518949598 × 6371000     		do = 422.761053668246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33977674--0.33958500) × cos(1.21734187) × R
    0.000191739999999996 × 0.346140777508011 × 6371000     		du = 422.837107200359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21740823)-sin(1.21734187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346078518949598-0.346140777508011)×R²
    abs(-0.33958500--0.33977674)×6.22585584131308e-05×R²
    0.000191739999999996×6.22585584131308e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.22585584131308e-05×40589641000000     		ar = 178750.809259887m²