Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14611 / 9683
↖ ↑ ↗
← N 59.068801°
W 19.478760°		 ← 627.93 m → N 59.068801°
W 19.467773°		 →
↑
627.99 m
↓
↑
627.99 m
↓
N 59.063154°
W 19.478760°		 ← 628.04 m →
394 368 m²		 N 59.063154°
W 19.467773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445907592773438 y=0.295516967773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445907592773438 × 215)
    floor (0.445907592773438 × 32768)
    floor (14611.5)     		tx = 14611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295516967773438 × 215)
    floor (0.295516967773438 × 32768)
    floor (9683.5)     		ty = 9683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14611 / 9683 ti = "15/14611/9683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14611/9683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14611 ÷ 215
    14611 ÷ 32768     		x = 0.445892333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9683 ÷ 215
    9683 ÷ 32768     		y = 0.295501708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445892333984375 × 2 - 1) × π
    -0.10821533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33996849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295501708984375 × 2 - 1) × π
    0.40899658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28490065741599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33996849} λ = -0.33996849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28490065741599))-π/2
    2×atan(3.61430888459812)-π/2
    2×1.30087069955072-π/2
    2.60174139910144-1.57079632675     		φ = 1.03094507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33996849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.478760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03094507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.068801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14611 KachelY 9683 -0.33996849 1.03094507 -19.478760 59.068801
    Oben rechts KachelX + 1 14612 KachelY 9683 -0.33977674 1.03094507 -19.467773 59.068801
    Unten links KachelX 14611 KachelY + 1 9684 -0.33996849 1.03084650 -19.478760 59.063154
    Unten rechts KachelX + 1 14612 KachelY + 1 9684 -0.33977674 1.03084650 -19.467773 59.063154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03094507-1.03084650) × R
    9.857000000002e-05 × 6371000     		dl = 627.989470000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03094507-1.03084650) × R
    9.857000000002e-05 × 6371000     		dr = 627.989470000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33996849--0.33977674) × cos(1.03094507) × R
    0.000191749999999991 × 0.514008407627761 × 6371000     		do = 627.932845588041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33996849--0.33977674) × cos(1.03084650) × R
    0.000191749999999991 × 0.514092957012412 × 6371000     		du = 628.036134434894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03094507)-sin(1.03084650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514008407627761-0.514092957012412)×R²
    abs(-0.33977674--0.33996849)×8.4549384650856e-05×R²
    0.000191749999999991×8.4549384650856e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.4549384650856e-05×40589641000000     		ar = 394367.647369539m²