Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14611 / 8977
↖ ↑ ↗
← N 62.830073°
W 19.478760°		 ← 557.84 m → N 62.830073°
W 19.467773°		 →
↑
557.91 m
↓
↑
557.91 m
↓
N 62.825055°
W 19.478760°		 ← 557.93 m →
311 249 m²		 N 62.825055°
W 19.467773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445907592773438 y=0.273971557617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445907592773438 × 215)
    floor (0.445907592773438 × 32768)
    floor (14611.5)     		tx = 14611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273971557617188 × 215)
    floor (0.273971557617188 × 32768)
    floor (8977.5)     		ty = 8977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14611 / 8977 ti = "15/14611/8977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14611/8977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14611 ÷ 215
    14611 ÷ 32768     		x = 0.445892333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8977 ÷ 215
    8977 ÷ 32768     		y = 0.273956298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445892333984375 × 2 - 1) × π
    -0.10821533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33996849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273956298828125 × 2 - 1) × π
    0.45208740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.42027446194302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33996849} λ = -0.33996849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42027446194302))-π/2
    2×atan(4.13825607820352)-π/2
    2×1.33369398268623-π/2
    2.66738796537245-1.57079632675     		φ = 1.09659164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33996849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.478760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09659164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.830073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14611 KachelY 8977 -0.33996849 1.09659164 -19.478760 62.830073
    Oben rechts KachelX + 1 14612 KachelY 8977 -0.33977674 1.09659164 -19.467773 62.830073
    Unten links KachelX 14611 KachelY + 1 8978 -0.33996849 1.09650407 -19.478760 62.825055
    Unten rechts KachelX + 1 14612 KachelY + 1 8978 -0.33977674 1.09650407 -19.467773 62.825055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09659164-1.09650407) × R
    8.75700000000368e-05 × 6371000     		dl = 557.908470000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09659164-1.09650407) × R
    8.75700000000368e-05 × 6371000     		dr = 557.908470000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33996849--0.33977674) × cos(1.09659164) × R
    0.000191749999999991 × 0.456631036370249 × 6371000     		do = 557.838396798047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33996849--0.33977674) × cos(1.09650407) × R
    0.000191749999999991 × 0.456708941809912 × 6371000     		du = 557.933569140926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09659164)-sin(1.09650407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456631036370249-0.456708941809912)×R²
    abs(-0.33977674--0.33996849)×7.79054396621848e-05×R²
    0.000191749999999991×7.79054396621848e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.79054396621848e-05×40589641000000     		ar = 311249.315391678m²