Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14611 / 7441
↖ ↑ ↗
← N 69.592059°
W 19.478760°		 ← 425.99 m → N 69.592059°
W 19.467773°		 →
↑
426.03 m
↓
↑
426.03 m
↓
N 69.588228°
W 19.478760°		 ← 426.06 m →
181 499 m²		 N 69.588228°
W 19.467773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445907592773438 y=0.227096557617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445907592773438 × 215)
    floor (0.445907592773438 × 32768)
    floor (14611.5)     		tx = 14611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227096557617188 × 215)
    floor (0.227096557617188 × 32768)
    floor (7441.5)     		ty = 7441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14611 / 7441 ti = "15/14611/7441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14611/7441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14611 ÷ 215
    14611 ÷ 32768     		x = 0.445892333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7441 ÷ 215
    7441 ÷ 32768     		y = 0.227081298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445892333984375 × 2 - 1) × π
    -0.10821533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33996849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227081298828125 × 2 - 1) × π
    0.54583740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71479877320865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33996849} λ = -0.33996849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71479877320865))-π/2
    2×atan(5.55555747287101)-π/2
    2×1.39270344873514-π/2
    2.78540689747029-1.57079632675     		φ = 1.21461057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33996849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.478760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21461057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.592059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14611 KachelY 7441 -0.33996849 1.21461057 -19.478760 69.592059
    Oben rechts KachelX + 1 14612 KachelY 7441 -0.33977674 1.21461057 -19.467773 69.592059
    Unten links KachelX 14611 KachelY + 1 7442 -0.33996849 1.21454370 -19.478760 69.588228
    Unten rechts KachelX + 1 14612 KachelY + 1 7442 -0.33977674 1.21454370 -19.467773 69.588228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21461057-1.21454370) × R
    6.68700000001632e-05 × 6371000     		dl = 426.02877000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21461057-1.21454370) × R
    6.68700000001632e-05 × 6371000     		dr = 426.02877000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33996849--0.33977674) × cos(1.21461057) × R
    0.000191749999999991 × 0.348701941311242 × 6371000     		do = 425.987978056988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33996849--0.33977674) × cos(1.21454370) × R
    0.000191749999999991 × 0.348764613347221 × 6371000     		du = 426.064540676019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21461057)-sin(1.21454370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348701941311242-0.348764613347221)×R²
    abs(-0.33977674--0.33996849)×6.26720359798161e-05×R²
    0.000191749999999991×6.26720359798161e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.26720359798161e-05×40589641000000     		ar = 181499.44333353m²