Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14611 / 11005
↖ ↑ ↗
← N 75.849198°
W 99.739380°		 ← 149.32 m → N 75.849198°
W 99.733887°		 →
↑
149.34 m
↓
↑
149.34 m
↓
N 75.847855°
W 99.739380°		 ← 149.34 m →
22 300 m²		 N 75.847855°
W 99.733887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222953796386719 y=0.167930603027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222953796386719 × 216)
    floor (0.222953796386719 × 65536)
    floor (14611.5)     		tx = 14611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167930603027344 × 216)
    floor (0.167930603027344 × 65536)
    floor (11005.5)     		ty = 11005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14611 / 11005 ti = "16/14611/11005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14611/11005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14611 ÷ 216
    14611 ÷ 65536     		x = 0.222946166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11005 ÷ 216
    11005 ÷ 65536     		y = 0.167922973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222946166992188 × 2 - 1) × π
    -0.554107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.74078057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167922973632812 × 2 - 1) × π
    0.664154052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.08650149286256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74078057} λ = -1.74078057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08650149286256))-π/2
    2×atan(8.0566794511186)-π/2
    2×1.44730728277348-π/2
    2.89461456554696-1.57079632675     		φ = 1.32381824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74078057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.739380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32381824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.849198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14611 KachelY 11005 -1.74078057 1.32381824 -99.739380 75.849198
    Oben rechts KachelX + 1 14612 KachelY 11005 -1.74068470 1.32381824 -99.733887 75.849198
    Unten links KachelX 14611 KachelY + 1 11006 -1.74078057 1.32379480 -99.739380 75.847855
    Unten rechts KachelX + 1 14612 KachelY + 1 11006 -1.74068470 1.32379480 -99.733887 75.847855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32381824-1.32379480) × R
    2.34400000000967e-05 × 6371000     		dl = 149.336240000616m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32381824-1.32379480) × R
    2.34400000000967e-05 × 6371000     		dr = 149.336240000616m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74078057--1.74068470) × cos(1.32381824) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.244474864828516 × 6371000     		do = 149.322257509657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74078057--1.74068470) × cos(1.32379480) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.244497593489316 × 6371000     		du = 149.336139897702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32381824)-sin(1.32379480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244474864828516-0.244497593489316)×R²
    abs(-1.74068470--1.74078057)×2.27286607999422e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.27286607999422e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.27286607999422e-05×40589641000000     		ar = 22300.2610577484m²