Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14610 / 9684
↖ ↑ ↗
← N 59.063154°
W 19.489746°		 ← 628.04 m → N 59.063154°
W 19.478760°		 →
↑
628.05 m
↓
↑
628.05 m
↓
N 59.057506°
W 19.489746°		 ← 628.14 m →
394 473 m²		 N 59.057506°
W 19.478760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445877075195312 y=0.295547485351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445877075195312 × 215)
    floor (0.445877075195312 × 32768)
    floor (14610.5)     		tx = 14610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295547485351562 × 215)
    floor (0.295547485351562 × 32768)
    floor (9684.5)     		ty = 9684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14610 / 9684 ti = "15/14610/9684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14610/9684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14610 ÷ 215
    14610 ÷ 32768     		x = 0.44586181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9684 ÷ 215
    9684 ÷ 32768     		y = 0.2955322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44586181640625 × 2 - 1) × π
    -0.1082763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34016024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2955322265625 × 2 - 1) × π
    0.408935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2847089098175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34016024} λ = -0.34016024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2847089098175))-π/2
    2×atan(3.61361591598899)-π/2
    2×1.30082141555915-π/2
    2.60164283111829-1.57079632675     		φ = 1.03084650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34016024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.489746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03084650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.063154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14610 KachelY 9684 -0.34016024 1.03084650 -19.489746 59.063154
    Oben rechts KachelX + 1 14611 KachelY 9684 -0.33996849 1.03084650 -19.478760 59.063154
    Unten links KachelX 14610 KachelY + 1 9685 -0.34016024 1.03074792 -19.489746 59.057506
    Unten rechts KachelX + 1 14611 KachelY + 1 9685 -0.33996849 1.03074792 -19.478760 59.057506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03084650-1.03074792) × R
    9.85799999999593e-05 × 6371000     		dl = 628.05317999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03084650-1.03074792) × R
    9.85799999999593e-05 × 6371000     		dr = 628.05317999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34016024--0.33996849) × cos(1.03084650) × R
    0.000191749999999991 × 0.514092957012412 × 6371000     		do = 628.036134434894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34016024--0.33996849) × cos(1.03074792) × R
    0.000191749999999991 × 0.51417750997895 × 6371000     		du = 628.139427657522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03084650)-sin(1.03074792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514092957012412-0.51417750997895)×R²
    abs(-0.33996849--0.34016024)×8.45529665385314e-05×R²
    0.000191749999999991×8.45529665385314e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.45529665385314e-05×40589641000000     		ar = 394472.528524731m²